Nos exercícios de 5 a 12, remova da equação dada o termo x y por uma rotação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os dois conjuntos de eixos. 8 . x 2 + x y + y 2 = 3

Enunciado

Para efetuar a rotação, vamos usar os seguintes fatos:

Se for a representação de um ponto em relação a um conjunto de eixos e for a representação de após a rotação dos eixos de um ângulo , então:

Se , a equação pode ser transformada na equação onde e não são ambos nulos, por uma rotação de eixos de ângulo para o qual .

Nós temos a equação e vamos remover o termo , então vamos utilizar a fórmula de (2).

Aqui já podemos peceber que o arco cuja tangente tende ao infinito é . Então e .

Agora para usar o fato 1 precisamos achar e . Usaremos as relações:

Agora vamos usar os dados acima para trocar as coordenadas com a fórmula:

Substituindo na nossa equação, ficamos com:

Simplificando essa expressão, nós obtemos a equação:

Que é a equação de uma elipse com centro na origem e sem o termo .

Como , então o ângulo de rotação foi aproximadamente . Sendo assim, segue o esboço da elipse com os eixos OXY e os eixos rotacionados .

Ei, a resposta está no passo a passo :)