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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 63

Em um armazém, mercadorias pesando 1.000 quilos são transportadas ao nível do chão, amarrando-se uma pesada corda em uma plataforma móvel, baixa, e puxando-a com um veículo motorizado. Se a corda forma um ângulo de θ   rad com o plano do chão, então a força de magnitude F   kg ao longo da corda é dada por:

F = 1000   k k sen ⁡ θ + cos ⁡ θ

onde k é o coeficiente de atrito constante e 0 < k < 1 . Se 0 ≤ θ ≤ π 2 . Mostre que F é mínima, quando tan ⁡ θ = k .

Passo 1

Pessoal, nós temos uma função que depende dos valores de θ e queremos mostrar o mínimo, para isso nós vamos derivar e igualar a 0 .

F θ = 1000 k k sen ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1    

F ' θ = - 1000 k k sen ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1 - 1 ( k sen ⁡ θ + cos ⁡ θ ) '

F ' θ = - 1000 k k cos ⁡ θ - sen ⁡ θ k sen ⁡ θ + cos ⁡ θ 2

- 1000 k k cos ⁡ θ - sen ⁡ θ k sen ⁡ θ + cos ⁡ θ 2 = 0     →       k cos ⁡ θ - sen ⁡ θ = 0       →         k = sen ⁡ θ cos ⁡ θ = tan ⁡ θ

Ou seja, k = tan ⁡ θ   →         θ = tan - 1 ⁡ k é um ponto crítico.

Como F é contínua em 0 , π 2 , o mínimo absoluto é um dos extremos ou o ponto crítico.

Passo 2

Vamos testar os extremos e o ponto crítico para ver qual o mínimo.

F 0 = 1000   k k sen ⁡ 0 + cos ⁡ 0 = 1000   k 1 = 1000 k

F π 2 = 1000   k k sen ⁡ π 2 + cos ⁡ π 2 = 1000 k k = 1000

F tan - 1 ⁡ k = 1000   k k sen ⁡ tan - 1 ⁡ k + cos ⁡ tan - 1 ⁡ k

Agora, com     k cos ⁡ θ - sen ⁡ θ = 0   → sen ⁡ θ = k cos ⁡ θ e usando a relação sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 , temos:

k cos ⁡ θ 2 + cos 2 ⁡ θ = 1     →         k 2 cos 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1   →     cos 2 ⁡ θ = 1 k 2 + 1  

cos ⁡ θ = 1 k 2 + 1

Logo, sen ⁡ θ = k k 2 + 1 . Dessa forma,

F tan - 1 ⁡ k = 1000   k k k k 2 + 1 + 1 k 2 + 1 = 1000   k k 2 + 1 k 2 + 1 = 1000 k k 2 + 1 k 2 + 1 = 1000 k k 2 + 1

F tan - 1 ⁡ k = 1000 k k 2 + 1

Perceba que:

1000 k k 2 + 1 < 1000 k < 1000 ,   pois     0 < k < 1

Logo, o menor valor é 1000 k k 2 + 1 . E F é mínima quando θ = tan - 1 ⁡ k .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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