Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 15
15-18. Verdadeiro/Falso. Suponha que seja contínua em toda parte. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
15. Se tiver um máximo relativo em , então .
Passo 1
Então pessoal, para dizermos que a afirmação é falsa temos que encontrar um, apenas um, contra exemplo que refute tal afirmação. Tendo isso em vista, vamos tomar uma função :
Antes de provarmos que há um máximo relativo em , vamos ver se , ok?
Opa, já vimos que , então se a função tiver um máximo relativo em a afirmativa será falsa.
Passo 2
Encontrando os pontos críticos:
Disso tiramos dois pontos críticos: . Então encontramos um ponto crítico em , como queríamos. Agora temos que analisar como a derivada se comporta antes e depois desse ponto!
Passo 3
Para temos que a derivada é:
Ou seja, (crescente). Para temos que a derivada é:
Ou seja, (decrescente). Como a derivada sai de crescente e vai para decrescente, então sem dúvida alguma se trata de um ponto de máximo! Dessa forma, nossa conclusão é que a afirmação é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa.