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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.5 - Ex. 11

Em 1925, Lotka e Volterra apresentaram as equações predador- -presa, um sistema de equações que simula as populações de duas espécies, uma que preda a outra. Suponha que x ( t ) represente o número de coelhos vivos em uma região no instante t e y ( t ) , o número de raposas na mesma região. Com o passar do tempo, o número de coelhos aumenta a uma taxa proporcional à sua população, e diminui a uma taxa proporcional ao número de encontros entre coelhos e raposas. As raposas, que competem por alimento, aumentam em número, a uma taxa proporcional ao número de encontros com os coelhos, mas diminuem a uma taxa proporcional ao número de raposas. Suponha que o número de encontros entre coelhos e raposas seja proporcional ao produto das duas populações. Essas hipóteses levam ao sistema autônomo

d x d t = a - b y ⋅ x

d y d t = - c + d x ⋅ y

onde a ,   b ,   c ,   d são constantes positivas. Os valores dessas constantes variam de acordo com a situação específica que está sendo modelada. Podemos estudar a natureza da variação da população sem ajustar essas constantes a valores específicos.

Mostre que 0 ,   0 e e d , a b são pontos de equilíbrio. Explique o significado de cada um desses pontos.

Passo 1

Um ponto é dito ponto de equilíbrio quando temos d x d t = 0 ou d y d t = 0 raciocínio semelhante para os pontos críticos. Para nossa questão basta que igualemos a equações do lado direito a 0 e analisemos quais pontos vamos encontrar. Além disso, devemos interpretar o que cada resultado desse significa.

Passo 2

Tomemos, primeiramente, d x d t = 0

0 = a - b y ⋅ x → x = 0   o u   y = a b

Agora, fazendo d y d t = 0

0 = - c + d x ⋅ y → y = 0   o u   x = c d

Logo, nossos pontos de equilíbrio são 0,0   o u   c d , a b .

Para o ponto ( 0,0 ) não temos nem coelhos e nem raposas, esse ponto é um ponto de equilíbrio instável, se não houverem raposas, mas quando alguns coelhos são introduzidos vamos ter → d x d t = a , a população de coelhos crescerá de maneira exponencial longe do ponto ( 0,0 ) .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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