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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.7 - Ex. 12

Em cada um dos problemas de 11 a 14, use o método de Euler para encontrar os valores aproximados do problema de valor inicial em t = 0,5 ; 1 ; 1,5 ; 2 ; 2,5   e   3 .

  1. Com h = 0,1 .
  2. Com h = 0,05 .
  3. Com h = 0,025 .
  4. Com h = 0,01 .

y ' = y ⋅ 3 - t ⋅ y , y 0 = 0,5 .

Passo 1

Para resolvermos esse problema, vamos usar o método de Euler, que consiste em um calculo numérico para as equações em que não temos um valor exato, onde o resultado se aproxima cada vez mais do exato de acordo com o passo usado para o calculo.

Passo 2

  1. Utilizando o método de Euler, temos que a equação usada é dada por

    2. y n + 1 = y n + f n ⋅ h

    y n + 1 = y n + y n ⋅ ( 3 - t n ⋅ y n ) ⋅ h

    Começando com n = 0 , teremos que

    y 1 = 0,5 + 0,5 ⋅ ( 3 - 0,5 ⋅ 0,5 ) ⋅ 0,1 = 0,6375

    Repetindo o mesmo processo até n = 5 , teremos os seguintes resultados

    y 2 = 0,7881

    y 3 = 0,9314

    y 4 = 1,0373

    y 5 = 1,0795

    y 6 = 1,0538

    Passo 3

  2. Para h = 0,05 , temos que

    3. y 1 = 0,5688

    y 2 = 0,6379

    y 3 = 0,7031

    y 4 = 0,7591

    y 5 = 0,8009

    y 6 = 0,8248

    Passo 4

  3. Para h = 0,025 , temos que

    4. y 1 = 0,5344

    y 2 = 0,5673

    y 3 = 0,5978

    y 4 = 0,6248

    y 5 = 0,6472

    y 6 = 0,6643

    Passo 5

  4. Para h = 0,01 , temos que

y 1 = 0,5138

y 2 = 0,5266

y 3 = 0,5382

y 4 = 0,5486

y 5 = 0,5575

y 6 = 0,5649

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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