1.Calcule int_(- pi)^(pi) sin (m x) sin (n x) d x Passo 1Lembrando da Formula : sin a sin b = (1)/(2) [cos (a - b) - cos (a + b)] Fazendo a = m x e b = n x sin (m x) sin (4 n x) = (1)/(2) [cos ((m - n) x) - cos ((m + n) x)] Passo 2Agora substituiremos a expressão na integral e calcularemos sua primitiva : int sin (m x) sin (n x) d x = (1)/(2) int cos ((m - n) x) d x - (1)/(2) cos ((m + n) x) d x Agora trabalharemos com duas suposições, m = n e m != n : 1 ° s u p o s i ç ã o (m = n) : ç ã int sin (m x) sin (n x) d x = (1)/(2) int cos ((0) x) d x - (1)/(2) cos ((2 m) x) d x int sin (m x) sin (n x) d x = (1)/(2) int d x - (1)/(2) int cos (2 m x) d x int sin (m x) sin (n x) d x = (1)/(2) x - (1)/(2) sin (2 m x) + C 2 ° s u p o s i ç ã o (m != n) ç ã : int sin (m x) sin (n x) d x = (1)/(2) int cos ((m - n) x) d x - (1)/(2) cos ((m + n) x) d x int sin (m x) sin (n x) d x = (1)/(2 (m - n)) sin ((m - n) x) - (1)/(2 (m + n)) sin ((m + n) x) + C Passo 3Lembrando que sin ( - x ) = - sin x Calcularemos a Integral definida : 1 ° s u p o s i ç ã o (m = n) : ç ã int_(- pi)^(pi) sin (m x) sin (n x) d x = (1)/(2) pi - (1)/(2) sin (2 m pi) - ((1)/(2) (- pi) - (1)/(2) sin (- 2 m pi)) int_(- pi)^(pi) sin (m x) sin (n x) d x = (1)/(2) pi - (1)/(2) sin (2 m pi) - (- (1)/(2) (pi) + (1)/(2) sin (2 m pi)) int_(- pi)^(pi) sin (m x) sin (n x) d x = (1)/(2) pi - (1)/(2) sin (2 m pi) + (1)/(2) pi - (1)/(2) sin (2 m pi) int_(- pi)^(pi) sin (m x) sin (n x) d x = pi - sin (2 m x) Repare que : sin ( 2 k x ) = 0 , AA k in N int_(- pi)^(pi) sin (m x) sin (n x) d x = pi 2 ° s u p o s i ç ã o (m != n) ç ã : int_(- pi)^(pi) sin (m x) sin (n x) d x = (sin ((m - n) pi))/(2 (m - n)) - (sin ((m + n) pi))/(2 (m + n)) - ((sin (- (m - n) pi))/(2 (m - n)) - (sin (- (m + n) pi))/(2 (m + n))) int_(- pi)^(pi) sin (m x) sin (n x) d x = (sin ((m - n) pi))/(2 (m - n)) - (sin ((m + n) pi))/(2 (m + n)) - (- (sin ((m - n) pi))/(2 (m - n)) + (sin ((m + n) pi))/(2 (m + n))) int_(- pi)^(pi) sin (m x) sin (n x) d x = (sin ((m - n) pi))/((m - n)) - (sin ((m + n) pi))/((m + n)) Repare ainda que sin (k pi) = 0 AA k in Z Logo podemos concluir que : sin ((m - n) pi) = sin ((m + n) pi) = 0 Então int_(- pi)^(pi) sin (m x) sin (n x) d x = 0 RespostaPara m = n : int_(- pi)^(pi) sin (m x) sin (n x) d x = pi Para m != n : int_(- pi)^(pi) sin (m x) sin (n x) d x = 0 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosUse os resultados das Equações 1 e 3 para calcular as integrais nos Exercícios 29-40.29 ∫ 1 2 xd xNos Exercícios 23-28, use áreas para calcular as integrais.26 f x = 4 - x 2 , e ma . - 2,2 eb . [ 0,2 ]Ver TambémVer Livro Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz GuidorizziVer tudo sobre IntegraisLista de exercícios de Introdução e Definição de IntegralVer exercício 12.6 - 1dVer exercício 12.1 - 17b