Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 17a

1.Calcule

int_(- pi)^(pi) sin (m x) sin (n x) d x

Passo 1

Lembrando da Formula :

sin a sin b = (1)/(2) [cos (a - b) - cos (a + b)]

Fazendo a = m x e b = n x

sin (m x) sin (4 n x) = (1)/(2) [cos ((m - n) x) - cos ((m + n) x)]

Passo 2

Agora substituiremos a expressão na integral e calcularemos sua primitiva :

int sin (m x) sin (n x) d x = (1)/(2) int cos ((m - n) x) d x - (1)/(2) cos ((m + n) x) d x

Agora trabalharemos com duas suposições, m = n e m != n :

1 ° s u p o s i ç ã o (m = n) :

int sin (m x) sin (n x) d x = (1)/(2) int cos ((0) x) d x - (1)/(2) cos ((2 m) x) d x

int sin (m x) sin (n x) d x = (1)/(2) int d x - (1)/(2) int cos (2 m x) d x

int sin (m x) sin (n x) d x = (1)/(2) x - (1)/(2) sin (2 m x) + C

2 ° s u p o s i ç ã o (m != n) :

int sin (m x) sin (n x) d x = (1)/(2) int cos ((m - n) x) d x - (1)/(2) cos ((m + n) x) d x

int sin (m x) sin (n x) d x = (1)/(2 (m - n)) sin ((m - n) x) - (1)/(2 (m + n)) sin ((m + n) x) + C

Passo 3

Lembrando que sin ( - x ) = - sin x

Calcularemos a Integral definida :

1 ° s u p o s i ç ã o (m = n) :

int_(- pi)^(pi) sin (m x) sin (n x) d x = (1)/(2) pi - (1)/(2) sin (2 m pi) - ((1)/(2) (- pi) - (1)/(2) sin (- 2 m pi))

int_(- pi)^(pi) sin (m x) sin (n x) d x = (1)/(2) pi - (1)/(2) sin (2 m pi) - (- (1)/(2) (pi) + (1)/(2) sin (2 m pi))

int_(- pi)^(pi) sin (m x) sin (n x) d x = (1)/(2) pi - (1)/(2) sin (2 m pi) + (1)/(2) pi - (1)/(2) sin (2 m pi)

int_(- pi)^(pi) sin (m x) sin (n x) d x = pi - sin (2 m x)

Repare que : sin ( 2 k x ) = 0 , AA k in N

int_(- pi)^(pi) sin (m x) sin (n x) d x = pi

2 ° s u p o s i ç ã o (m != n) :

int_(- pi)^(pi) sin (m x) sin (n x) d x = (sin ((m - n) pi))/(2 (m - n)) - (sin ((m + n) pi))/(2 (m + n)) - ((sin (- (m - n) pi))/(2 (m - n)) - (sin (- (m + n) pi))/(2 (m + n)))

int_(- pi)^(pi) sin (m x) sin (n x) d x = (sin ((m - n) pi))/(2 (m - n)) - (sin ((m + n) pi))/(2 (m + n)) - (- (sin ((m - n) pi))/(2 (m - n)) + (sin ((m + n) pi))/(2 (m + n)))

int_(- pi)^(pi) sin (m x) sin (n x) d x = (sin ((m - n) pi))/((m - n)) - (sin ((m + n) pi))/((m + n))

Repare ainda que sin (k pi) = 0 AA k in Z

Logo podemos concluir que :

sin ((m - n) pi) = sin ((m + n) pi) = 0

Então int_(- pi)^(pi) sin (m x) sin (n x) d x = 0

Resposta

Para m = n :

int_(- pi)^(pi) sin (m x) sin (n x) d x = pi

Para m != n :

int_(- pi)^(pi) sin (m x) sin (n x) d x = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use os resultados das Equações 1 e 3 para calcular as integrais nos Exercícios 29-40.29 ∫ 1 2 xd x
Nos Exercícios 23-28, use áreas para calcular as integrais.26 f x = 4 - x 2 , e ma . - 2,2 eb . [ 0,2 ]