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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 17b

Calcule

int_(- pi)^(pi) sin (n x) cos (n x) d x

Passo 1

Lembrando da Formula :

sin a cos b = (1)/(2) [sin ( a + b ) + sin ( a - b )]

Para a = n x e b = m x teremo:

sin (n x) cos (m x) = (1)/(2) [sin ( (n + m) x ) + sin ( (n - m) x )]

Passo 2

Agora nos calcularemos a primitiva, contudo trabalharemos agora com duas suposições, m = n o u m != n :

1 ° s u p o s i ç ã o (m = n) :

int sin (n x) cos (m x) d x = (1)/(2) int sin (2 m x) d x + (1)/(2) int sin (0) d x

int sin (n x) cos (m x) d x = (- cos (2 m x))/(2 (2 m)) + C = (- cos (2 m x))/(4 m) + C

2 ° s u p o s i ç ã o (m != n) :

int sin (n x) cos (m x) d x = (1)/(2) int sin ((n + m) x) d x + (1)/(2) int sin ((n - m) x) d x

int sin (n x) cos (m x) d x = (- cos ((n + m) x))/(2 (n + m)) + (- cos ((n - m) x))/(2 ( n - m )) + C

Passo 3

Calcularemos a Integral definida de cada caso :

- Lembrando que cos (- x) = cos x

1 ° s u p o s i ç ã o (m = n) :

int_(- pi)^(pi) sin (n x) cos (m x) d x = (- cos (2 m pi))/(4 m) - ((- cos (- 2 m pi))/(4 m))

int_(- pi)^(pi) sin (n x) cos (m x) d x = (- cos (2 m pi))/(4 m) + (cos (2 m pi))/(4 m) = 0

2 ° s u p o s i ç ã o (m != n) :

int_(- pi)^(pi) sin (n x) cos (m x) d x = (- cos ((n + m) pi))/(2 (n + m)) + (- cos ((n - m) pi))/(2 ( n - m )) - ((- cos (- (n + m) pi))/(2 (n + m)) + (- cos (- (n - m) pi))/(2 ( n - m )))

int_(- pi)^(pi) sin (n x) cos (m x) d x = (- cos ((n + m) pi))/(2 (n + m)) + (- cos ((n - m) pi))/(2 ( n - m )) + (cos ((n + m) pi))/(2 (n + m)) + (cos ((n - m) pi))/(2 ( n - m ))

int_(- pi)^(pi) sin (n x) cos (m x) d x = 0

Resposta

int_(- pi)^(pi) sin (n x) cos (m x) d x = 0

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