Calcule int_(- pi)^(pi) sin (n x) cos (n x) d x Passo 1Lembrando da Formula : sin a cos b = (1)/(2) [sin ( a + b ) + sin ( a - b )] Para a = n x e b = m x teremo: sin (n x) cos (m x) = (1)/(2) [sin ( (n + m) x ) + sin ( (n - m) x )] Passo 2Agora nos calcularemos a primitiva, contudo trabalharemos agora com duas suposições, m = n o u m != n : 1 ° s u p o s i ç ã o (m = n) : ç ã int sin (n x) cos (m x) d x = (1)/(2) int sin (2 m x) d x + (1)/(2) int sin (0) d x int sin (n x) cos (m x) d x = (- cos (2 m x))/(2 (2 m)) + C = (- cos (2 m x))/(4 m) + C 2 ° s u p o s i ç ã o (m != n) ç ã : int sin (n x) cos (m x) d x = (1)/(2) int sin ((n + m) x) d x + (1)/(2) int sin ((n - m) x) d x int sin (n x) cos (m x) d x = (- cos ((n + m) x))/(2 (n + m)) + (- cos ((n - m) x))/(2 ( n - m )) + C Passo 3Calcularemos a Integral definida de cada caso : - Lembrando que cos (- x) = cos x 1 ° s u p o s i ç ã o (m = n) : ç ã int_(- pi)^(pi) sin (n x) cos (m x) d x = (- cos (2 m pi))/(4 m) - ((- cos (- 2 m pi))/(4 m)) int_(- pi)^(pi) sin (n x) cos (m x) d x = (- cos (2 m pi))/(4 m) + (cos (2 m pi))/(4 m) = 0 2 ° s u p o s i ç ã o (m != n) ç ã : int_(- pi)^(pi) sin (n x) cos (m x) d x = (- cos ((n + m) pi))/(2 (n + m)) + (- cos ((n - m) pi))/(2 ( n - m )) - ((- cos (- (n + m) pi))/(2 (n + m)) + (- cos (- (n - m) pi))/(2 ( n - m ))) int_(- pi)^(pi) sin (n x) cos (m x) d x = (- cos ((n + m) pi))/(2 (n + m)) + (- cos ((n - m) pi))/(2 ( n - m )) + (cos ((n + m) pi))/(2 (n + m)) + (cos ((n - m) pi))/(2 ( n - m )) int_(- pi)^(pi) sin (n x) cos (m x) d x = 0 Resposta int_(- pi)^(pi) sin (n x) cos (m x) d x = 0 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosCalcule a integral definidaint_2^5 4 d xCalcule a integral definidaint_(- 3)^4 7 d xCalcule a integral definidaint_(- 2)^2 sqrt(5) d xCalcule a integral definidaint_(- 5)^(- 1 0) d xVer TambémVer Livro Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz GuidorizziVer tudo sobre IntegraisLista de exercícios de Introdução e Definição de IntegralVer exercício 12.1 - 17aVer exercício 12.1 - 16b