Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.2 - Ex. 27
27-42. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
27.
Passo 1
E aí, amigos? Como estão?
Para encontrar a divergência ou convergência da série, uma opção é avaliar o comportamento da sequência dos termos da série com o Teste da Divergência.
Sabemos que a série diverge se ou não existir.
Caso a série tem grandes chances de convergir. Isso não garante que a série converge; outros testes podem ser necessários para determinar a convergência.
Repare também que vamos precisar encontrar a expressão para nossa série, já que o enunciado só nos dá os termos da série.
Agora que já temos a teoria necessária em mãos, então vamo que vamo!
Passo 2
Antes de vermos se a série é convergente ou divergente, vamos descobrir uma expressão para , ok? A soma que nos foi dada é:
Disso podemos tirar que: o numerador não se altera, ou seja, é o tempo inteiro, e o denominador é composto por valores múltiplos de , não é mesmo? Sendo assim, nossa expressão será:
Reescrevendo no nosso formato de séries:
Essa série é chamada de série harmônica, galera! Se trata de uma série bem conhecida, assim como seu resultado. Essa é uma série divergente.
Então nesse caso nem precisamos calcular o limite, já que já conhecemos o comportamento da série harmônica, que cresce infinitamente e não se aproxima de valor nenhum.