Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 19
a) Se são investidos a uma taxa de juros de , calcule o valor do investimento no final de cinco anos se os juros forem compostos (i) anualmente, (ii) semestralmente, (iii) mensalmente, (iv) semanalmente, (v) diarimente e (vi) continuamente.
b) Se for a quantidade de investimento no tempo para o caso de composição continua, escreve uma equação diferencial e uma condição inicial satisfeita por .
Passo 1
Esse é um problema sobre juros compostos. A expressão genérica que vamos usar é
onde é o valor inicial, é a taxa de juros, é o tempo em anos e é o número de vezes que a taxa é aplicada ao longo de um ano!
Assim, nossa equação, em função de fica:
Passo 2
Se a taxa é aplicada anualmente (i), :
Já para a taxa semestral (ii), :
Para rendimento mensal (iii), temos :
Para rendimento semanal (iv), usamos :
E para rendimento diário (v), temos :
Tomando o limite contínuo (vi):
Passo 3
No item (b) devemos escrever uma equação diferencial para
Derivando a relação:
Portanto, a equação diferencial é