a) Se 3000 são investidos a uma taxa de juros de 5% , calcule o valor do investimento no final de cinco anos se os juros forem compostos (i) anualmente, (ii) semestralmente, (iii) mensalmente, (iv) semanalmente, (v) diarimente e (vi) continuamente.

b) Se A(t) for a quantidade de investimento no tempo t para o caso de composição continua, escreve uma equação diferencial e uma condição inicial satisfeita por A(t) .

Passo 1

Esse é um problema sobre juros compostos. A expressão genérica que vamos usar é

A = A 0   1 + r n n t ,

onde A 0 = 30 00 é o valor inicial, r = 0 , 05 é a taxa de juros, t = 5 é o tempo em anos e n é o número de vezes que a taxa é aplicada ao longo de um ano!

Assim, nossa equação, em função de n fica:

A = 30 00 ⋅ 1 + 0 , 05 n 5 n

Passo 2

Se a taxa é aplicada anualmente (i), n = 1 :

A = 3828,84

Já para a taxa semestral (ii), n = 2 :

A = 3840,25

Para rendimento mensal (iii), temos n = 12 :

A = 3850,07

Para rendimento semanal (iv), usamos n = 52 :

A = 3851,61

E para rendimento diário (v), temos n = 365 :

A = 3852,01

Tomando o limite contínuo (vi):

A t = A 0 e r t = 300 0 ⋅ e 5   ⋅   0 , 05 = 3852,07

Passo 3

No item (b) devemos escrever uma equação diferencial para

A t = 3000   e 0,05 t

Derivando a relação:

d A d t = 0,05 ⋅ 3000   e 0,05 t

Portanto, a equação diferencial é

d A d t = 0,05   A ,               A 0 = 3000

Resposta

i           $   3828 , 84

i i           $   3840,25

i i i           $   3850,07

i v           $   3851,61

v           $   3852,01

v i           $   3852,07

d A d t = 0,05   A ,               A 0 = 3000

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