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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.7 - Ex. 24

Converta de coordenadas cilíndricas para coordenadas esféricas.

6 , π 4 , 2

Passo 1

Para resolver esse exercício, vamos estabelecer relações entre as coordenadas cilíndricas e as esféricas, utilizando as transformações para coordenadas retangulares.

Passo 2

Temos que para obter as coordenadas esféricas a partir das cilíndricas vamos precisar utilizar as coordenadas retangulares como intermediarias. Sabemos que das coordenadas cilíndricas para retangulares temos as seguintes relações:

x = r ⋅ cos ⁡ θ ,

y = r ⋅ sin ⁡ θ ,

z = z

E das coordenadas esféricas para retangulares, temos as relações

x = ρ ⋅ sin ⁡ ϕ ⋅ cos ⁡ θ ,

y = ρ ⋅ sin ⁡ ϕ ⋅ sin ⁡ θ ,

z = ρ ⋅ cos ⁡ ϕ

ρ = x 2 + y 2 + z 2

Podemos então igualar as equações uma vez que nas coordenadas retangulares terão os mesmos valores. Assim, chegamos que

θ = θ ,

ϕ = cos - 1 ⁡ z ρ ,

ρ = r 2 + z 2

Note que não precisamos estabelecer uma relação para θ pois o dado em coordenadas cilíndricas será o mesmo para coordenadas esféricas.

Assim, sabendo que os pontos em coordenadas cilíndricas são dados da forma ( r , θ , z ) e que as coordenadas esféricas são dadas da forma ρ , θ , ϕ , assim temos que:

ρ = 6 2 + 2 2 = 6 + 2 = 8 = 2 ⋅ 2

θ = 45 º

ϕ = cos - 1 ⁡ 2 2 ⋅ 2 = cos - 1 ⁡ 1 2 = 6 0 º

Resposta

ρ = 2  

θ = 30 º

ϕ = 6 0 º

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