Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.2 - Ex. 8
Nos problemas 1-40, resolva a equação diferencial dada por separação de variável.
8.
Passo 1
Então pessoal, de início vale ressaltar que é interessantíssimo ter uma boa base de integração para resolver os problemas de equações diferenciais, tudo bem? Sendo assim, caso você não se lembre muito bem das técnicas de integração, sugiro dar uma revisada antes de iniciar o curso de equações diferenciais, belê? Show!
O exercício quer que a gente resolva a equação diferencial dada utilizando o método de separação de variáveis. Basicamente o que precisamos fazer é deixar tudo que tem de um lado da equação e tudo que tem do outro lado da equação e depois integrar tudo. Pareceu complicado? Bora descomplicar então!
Passo 2
A equação diferencial que nos foi dada é essa aqui:
Isolando as variáveis em cada lado da equação, teremos:
Show! Variáveis devidamente separadas. Simbora para o último passo!
Passo 3
Agora que isolamos as variáveis o próximo passo é integrar ambos os lados, se liga:
Para a integral da esquerda já temos um valor bem definido e tabelado, galera! O resultado é o seguinte:
Isso é verdade sempre que a variável estiver no denominador e tiver grau , como é o nosso caso, tudo bem? Show! 😊
Já para a integral da direita vamos utilizar a seguinte regra:
Logo:
Por fim, igualando os resultados:
Juntando com teremos uma terceira constante que vamos chamar de , ok? Logo, nosso resultado será:
E essa é a nossa função!
Passo 4
Uma outra forma de escrever esse resultado é utilizando a definição de logaritmo, se liga:
Aplicando essa ideia para a função que temos:
Lembrando dessa propriedade exponencial:
Podemos reescrever nossa função assim:
E como é uma outra constante, podemos chamar de . Logo, a outra forma de escrever nosso resultado é esse:
E está aí nossa resposta! 😉
Resposta
ou