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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 9.6 - Ex. 20

Resolva o problema de valor inicial.

x (d y)/(d x) - (y)/(x + 1) = x , y (1) = 0 , x > 0

Passo 1

O exercício pede para resolvermos a equação diferencial. Neste caso, temos

x y^' - (y)/(x + 1) = x

Dividindo por x :

y^' - (y)/(x (x + 1)) = 1

Note que essa equação é linear e pode ser esciita na forma

y^' + P (x) y = Q (x) ,

com

P (x) = - (1)/(x ( x + 1 )) e Q (x) = 1

O primeiro passo para resolver a equação é achar o fator integrante:

I = e^(int P (x) d x)

Calculando a integral:

int P (x) d x = - int (1)/(x (x + 1)) d x = - int (1)/(x) d x + int (1)/(x + 1) d x

Use o método das frações parciais para separar as integrais. Temos então:

int P (x) d x = - ln x + ln (x + 1) = ln ((x + 1)/(x))

Assim,

I = e^(ln ((x + 1)/(x))) = (x + 1)/(x)

Passo 2

Multiplicando a equação pelo fator integrante:

y^' (x + 1)/(x) - (1)/(x^2) y = (x + 1)/(x)

Assim, o primeiro termos pode ser fatorado:

y^' (x + 1)/(x) - (1)/(x^2) y = (y * (x + 1)/(x))^'

Logo,

(d)/(d x) (y (x + 1)/(x)) = 1 + (1)/(x)

Integrando, obtemos

y * (x + 1)/(x) = int (1 + (1)/(x)) d x

Passo 3

Assim,

y (x + 1)/(x) = x + ln x + C

Isolando y :

y = (1)/(x + 1) (x^2 + x ln x + C x)

Agora usamos a condição y (1) = 0 :

0 = (1)/(2) (1 + 0 + C) => C = - 1

Portanto,

y = (1)/(x + 1) (x^2 + x ln x - x)

Resposta

y = (1)/(x + 1) (x^2 + x ln x - x)

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