Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.5 - Ex. 35
31-48. Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas.
35. Parábola, vértice , eixo vertical, passando em
Passo 1
Então pessoal, uma equação de parábola em seu formato geral, de acordo com a seção 10.5 do James, é dada da seguinte maneira:
No qual seu foco é dado em e sua diretriz é dada em . Um outro formato é obtido se fizermos a inversa dessa função, ou seja, refleti-la em torno da reta . Se fizermos isso, o formato geral da equação de parábola ficará:
No qual seu foco é dado em e sua diretriz é dada em . No entant, essas equações só são válidas para quando o vértice está em , pessoal! O enunciado nos informa que a parábola em questão tem vértice em , então temos uma parábola deslocada. Para esse tipo de caso, as equações são:
Ou:
No qual e se referem ao ponto no qual o vértice se encontra. Como a questão já nos diz, então temos que: e .
Passo 2
Ademais, outra coisa que o enunciado nos diz é que a parábola tem eixo vertical. Bom, se o eixo é vertical, então é o tipo de parábola que mais conhecemos:
Mas po, não conseguiremos determinar quem é com os dados que temos, mas conseguimos determinar . Como assim, quem é esse ? Na seção 10.5 do Stewart essa letra é definida como:
Então:
Se substituirmos na equação da nossa parábola, teremos:
O enunciado nos diz que a parábola passa pelo ponto , então se substituirmos esse ponto e os valores de e , teremos:
Dessa forma, a equação da parábola em questão será: