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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.7 - Ex. 32

32. Sabendo que y 1 = cos ⁡ ln ⁡ x e y 2 = s e n ln ⁡ x são soluções linearmente independentes para x 2 y ' ' + x y ' + y = 0 em 0 ,   ∞ :

a) Encontre uma solução particular para:

x 2 y ' ' + x y ' + y = sec ⁡ ln ⁡ x

b) Dê a solução geral para a equação e defina um intervalo em que esta seja válida. (Sugestão: Não é 0 ,   ∞ . Por quê?)

Passo 1

a) Então galera, aqui o que o enunciado faz é facilitar nossa vida, pois não precisamos calcular as raízes da equação características. Tendo em vista a equação diferencial que nos foi dada e as funções y 1 e y 2 , temos que:

x 2 y ' ' + x y ' + y = sec ⁡ ln ⁡ x

y ' ' + 1 x y ' + 1 x 2 y = 1 x 2 . sec ⁡ ln ⁡ x

f x = 1 x 2 . sec ⁡ ln ⁡ x

Então agora precisamos resolver os determinantes! Se liga:

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = cos ⁡ ln ⁡ x sen ⁡ ln ⁡ x - 1 x . s e n ln ⁡ x 1 x . cos ⁡ ln ⁡ x = 1 x

W 1 = 0 y 2 f x y 2 ' = 0 sen ⁡ ln ⁡ x 1 x 2 . sec ⁡ ln ⁡ x 1 x . cos ⁡ ln ⁡ x = - tan ⁡ ln ⁡ x x 2

W 2 = y 1 0 y 1 ' f x = cos ⁡ ln ⁡ x 0 - 1 x . s e n ln ⁡ x 1 x 2 . sec ⁡ ln ⁡ x = 1 x 2

Agora que determinamos os determinantes, temos que os parâmetros variáveis serão:

u 1 ' = W 1 W = - tan ⁡ ln ⁡ x x

u 2 ' = W 2 W = 1 x

Show! Agora só falta integramos isso aí para encontrarmos u 1   e   u 2 !

Passo 2

Integrando u 1 ' , teremos:

u 1 = ∫ - tan ⁡ ln ⁡ x x d x = ln ⁡ cos ⁡ ln ⁡ x

Agora integrando u 2 ' , teremos:

u 2 = ∫ 1 x d x = ln ⁡ x

Logo, tiramos que nossa solução particular será:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

y p = ln ⁡ cos ⁡ ln ⁡ x . cos ⁡ ln ⁡ x + ln ⁡ x . s e n ln ⁡ x

E está aí!

Passo 3

b) Sendo assim, concluímos que nossa solução geral é a seguinte:

y = y c + y p

y = c 1 cos ⁡ ln ⁡ x + c 2 s e n ln ⁡ x + ln ⁡ cos ⁡ ln ⁡ x . cos ⁡ ln ⁡ x + ln ⁡ x . s e n ln ⁡ x

No qual o intervalo é:

- π 2 < ln ⁡ x < π 2

E esta é a nossa resolução, pessoal! 😉

Resposta

a) y p = ln ⁡ cos ⁡ ln ⁡ x . cos ⁡ ln ⁡ x + ln ⁡ x . s e n ln ⁡ x

b) y = c 1 cos ⁡ ln ⁡ x + c 2 s e n ln ⁡ x + ln ⁡ cos ⁡ ln ⁡ x . cos ⁡ ln ⁡ x + ln ⁡ x . s e n ln ⁡ x

- π 2 < ln ⁡ x < π 2

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