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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.7 - Ex. 29

Sabendo que y 1 = x e y 2 = x . ln ⁡ x formam um conjunto fundamental de soluções para x 2 y ' ' - x ' + y = 0 em 0 ,   ∞ , encontre a solução geral para:

x 2 y ' ' - x y ' + y = 4 x . ln ⁡ x

Passo 1

Então galera, aqui o que o enunciado faz é facilitar nossa vida, pois não precisamos calcular as raízes da equação características. Tendo em vista a equação diferencial que nos foi dada e as funções y 1 e y 2 , temos que:

x 2 y ' ' - x y ' + y = 4 x . ln ⁡ x

y ' ' - 1 x y ' + 1 x 2 y = 4 ln ⁡ x x

f x = 4 ln ⁡ x x

Então agora precisamos resolver os determinantes! Se liga:

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = x x . ln ⁡ x 1 ln ⁡ x + 1 = x

W 1 = 0 y 2 f x y 2 ' = 0 x . ln ⁡ x 4 ln ⁡ x x ln ⁡ x + 1 = - 4 ln ⁡ x 2

W 2 = y 1 0 y 1 ' f x = x 0 1 4 ln ⁡ x x = 4 ln ⁡ x

Agora que determinamos os determinantes, temos que os parâmetros variáveis serão:

u 1 ' = W 1 W = - 4 x ln ⁡ x 2

u 2 ' = W 2 W = 4 x ln ⁡ x

Show! Agora só falta integramos isso aí para encontrarmos u 1   e   u 2 !

Passo 2

Integrando u 1 ' , teremos:

u 1 = ∫ - 4 x ln ⁡ x 2 d x = - 4 3 ln ⁡ x 3

Agora integrando u 2 ' , teremos:

u 2 = ∫ 4 x ln ⁡ x d x = 2 ln ⁡ x 2

Logo, tiramos que nossa solução particular será:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

y p = - 4 3 ln ⁡ x 3 . x + 2 ln ⁡ x 3 . x = 2 3 x ln ⁡ x 3

Sendo assim, concluímos que nossa solução geral é a seguinte:

y = y c + y p

y = c 1 x + c 2 x . ln ⁡ x + 2 3 x ln ⁡ x 3

E esta é a nossa resolução, pessoal! 😉

Resposta

y = c 1 x + c 2 x . ln ⁡ x + 2 3 x ln ⁡ x 3

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