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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.7 - Ex. 34

Use o método delineado no Problema 33 para encontrar uma solução particular para:

y ' ' + y = 2 x - e 3 x + c o t g   x

Passo 1

Então galera, aqui o que precisamos fazer é encontrar duas soluções particulares, ok? Uma encontraremos pelo método de coeficientes indeterminados e a outra encontraremos pelo método de variação dos parâmetros. Então bora lá!

Para encontrarmos y c vamos fazer: y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 , ok? Logo:

m 2 + 1 = 0

E então encontramos que:

m 1 = i

m 2 = - i

Como as raízes são complexas, então teremos a seguinte solução complementar:

y c = c 1 cos ⁡ x + c 2 s e n   x

Da nossa equação tiramos que:

g x = 2 x - e 3 x

Uma boa suposição para a solução particular seria:

y p = A x + B + C e 3 x

E então devemos determinar coeficientes específicos A , B e C para que y p seja uma solução particular da nossa equação. Derivando, teremos:

y p ' = A + 3 C e 3 x

y p ' ' = 9 C e 3 x

Top!

Passo 2

Agora que derivamos nossa solução complementar, substituindo na nossa equação diferencial, teremos:

y ' ' + y = 2 x - e 3 x

9 C e 3 x + A x + B + C e 3 x = 2 x - e 3 x

Como temos uma identidade tiramos o seguinte:

A = 2 B = 0 C = - 1 10

Então nossa solução particular será:

y p = 2 x - 1 10 e 3 x

Showww!

Passo 3

Agora devemos encontrar a segunda solução particular utilizando o método de variação dos parâmetros, ok? Então vem comigo! Do passo 1 tiramos que:

y c = c 1 cos ⁡ x + c 2 s e n   x

Além de que:

f x = c o t g   x

Então agora precisamos resolver os determinantes! Se liga:

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = cos ⁡ x s e n   x - s e n   x cos ⁡ x = 1

W 1 = 0 y 2 f x y 2 ' = 0 s e n   x c o t g   x cos ⁡ x = - cos ⁡ x

W 2 = y 1 0 y 1 ' f x = cos ⁡ x 0 - s e n   x c o t g   x = c o s 2 x s e n   x

Agora que determinamos os determinantes, temos que os parâmetros variáveis serão:

u 1 ' = W 1 W = - cos ⁡ x

u 2 ' = W 2 W = c o s s e c   x - s e n   x

Show! Agora só falta integramos isso aí para encontrarmos u 1   e   u 2 !

Passo 4

Integrando u 1 ' , teremos:

u 1 = ∫ - cos ⁡ x d x = - s e n   x

Agora integrando u 2 ' , teremos:

u 2 = ∫ c o s s e c   x - s e n   x d x = ln ⁡ c o s s e c   x - c o t g   x + cos ⁡ x

Logo, tiramos que nossa solução particular será:

y p = u 1 y 1 + u 2 y 2

y p = - s e n   x . cos ⁡ x + ln ⁡ c o s s e c   x - c o t g   x + cos ⁡ x . s e n   x = ln ⁡ c o s s e c   x - c o t g   x

Utilizando o princípio de superposição concluímos que nossa solução particular total será:

y p = 2 x - 1 10 e 3 x + ln ⁡ c o s s e c   x - c o t g   x

E está aí nossa resposta, pessoal! 😉

Resposta

y p = 2 x - 1 10 e 3 x + ln ⁡ c o s s e c   x - c o t g   x

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