Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.7 - Ex. 33
33. a) Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para:
b) Use o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular para:
c) Use o princípio de superposição (Teorema 4.9) para encontrar uma solução particular para:
Passo 1
a) Para encontrarmos vamos fazer: , ok? Logo:
E então encontramos que:
Como as raízes são reais e idênticas, então teremos a seguinte solução complementar:
Da nossa equação tiramos que:
Uma boa suposição para a solução particular seria:
E então devemos determinar coeficientes específicos , e para que seja uma solução particular da nossa equação. Derivando, teremos:
Top!
Passo 2
Agora que derivamos nossa solução complementar, substituindo na nossa equação diferencial, teremos:
Como temos uma identidade tiramos o seguinte:
Então nossa solução particular será:
Passo 3
b) Do passo 1 tiramos que:
Logo:
Além disso:
Então agora precisamos resolver os determinantes! Se liga:
Agora que determinamos os determinantes, temos que os parâmetros variáveis serão:
Show! Agora só falta integramos isso aí para encontrarmos !
Passo 4
Integrando , teremos:
Agora integrando , teremos:
Logo, tiramos que nossa solução particular será:
Ou melhor:
Passo 5
c) Utilizando o princípio de Superposição, teremos:
Ou seja, só precisamos somar as duas soluções particulares que encontramos em a) e em b), saca só:
E está aí nossa resposta, pessoal! 😉
Resposta
a)
b)
c)