Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.5 - Ex. 36

36- Placa semicircular Calcule a força do fluido em um lado de uma placa semicircular com raio de 5 pés que repousa verticalmente sobre o seu diâmetro no fundo de uma piscina cheia de água até a profundidade de 6 pés.

Passo 1

A profundidade da nossa placa em relação a superfície da água varia de acordo com a seguinte função:

h = 6 - y

Onde y significa a altura da nossa placa, que como a questão diz, é a de um semicírculo positivo. E x é o seu comprimento que em função de y pode ser escrita da seguinte forma:

x = 25 - y 2

Uma vez que o nosso semicírculo tem raio 5. Porém como temos dois semicírculos logo nosso x também tem o da distância. Logo:

2 x = 2 25 - y 2

Passo 2

Temos a equação de força hidrostática igual a :

F = ∫ ρ y x d y

Como estamos com medidas inglesas logo ρ = 62.4 , e como nossa altura varia da base até o topo de 0 a 5, temos nosso intervalo. Substituindo todos os valores nessa integral teremos:

F = 62.4 × 2 ∫ 0 5 ( 6 - y ) 25 - y 2   d y

F = 124.8 ∫ 0 5 6 25 - y 2 d y - ∫ 0 5 y 25 - y 2   d y

A primeira equação vamos calcular da seguinte forma:

6 ∫ 0 5 25 - y 2   d y

Substituindo y = 5 sin ⁡ u teremos d y = 5 cos ⁡ u   d u

Logo:

6 ∫ 25 - 25 sin 2 ⁡ u × 5 cos ⁡ u   d u

6 ∫ 25 1 - sin 2 ⁡ u   c o s u   d u = 150 ∫ cos 2 ⁡ u d u

Da relação trigonométrica cos 2 ⁡ x = 1 2 + cos ⁡ 2 x 2 , tiramos que essa integral é:

150 u 2 + s e n   2 u 4

Como y = sin ⁡ u precisamos mudar nosso intervalo para resolver de forma definida nossa função. Para y = 0 → u = 0 e para y = 5 → u = π / 2 . (o que pode ser entendido como a área do primeiro quarto de círculo.

Logo nosso resultado para a primeira integral será :

150 π 4 + s e n   π 4 - 0 = 75 π 2

Agora para a segunda integral temos:

∫ 0 5 y 25 - y 2   d y

Se substituirmos u = 25 - y 2 logo d u = - 2 y   d y →   - d u 2 = y   d y

Substituindo teremos:

∫ - 1 2 u   d u = - 1 2 2 3 u 3 2 = - 1 3 u 3 2

Nossos intervalos em relação a u   seriam:

Para y = 0 → u = 25 - 0 = 25 e para y = 5 → 25 - 25 = 0 . Logo:

- 1 3 u 3 2 25 0 = - 1 3 × 0 3 2 + 1 3 25 3 2 = 125 3

Passo 3

Agora só substituir esses valores na equação da força:

F = 124.8 × 75 π 2 - 125 3 = 9502.7   l b

Se não errou nenhum passo, parabéns!

Resposta

9502.7   l b

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um caminhão transporta leite com uma densidade de 64,6l b / p é 3 é em um tanque cilíndrico com 6 pés de diâmetro.Encontre a força exercida pelo leite em uma extremidade do tanque quando o tanque está
Uma placa de metal foi encontrada verticalmente imersa em água do mar, que tem uma densidade de 64l b / p é 3 é . As medidas da largura da placa foram tiradas nas profundidades indicadas. Use a Regra
Uma placa vertical é imersa (ou parcialmente imersa) na água e tem a forma indicada na figura a seguir. Explique como aproximar a força hidrostática em um lado da placa usando uma soma de Riemann. Ent
3. Uma placa vertical é imersa (ou parcialmente imersa) na água e tem a forma indicada na figura a seguir. Explique como aproximar a força hidrostática em um lado da placa usando uma soma de Riemann.
Uma placa vertical é submersa (ou parcialmente submersa) em água e tem o formato indicado. Explique como aproximar a força hidrostática contra um lado da placa por uma soma de Riemann. Então expresse