Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.9 - Ex. 39
39. Ache por integração, a área do triângulo tendo vértices (5,1), (1,3), e (-1,-2).
Passo 1
Vamos colocar esses pontos num gráfico para ver o triângulo e a região delimitada por eles. Depois usamos soma de Riemann pra calcular a área.
Passo 2
Colocando no gráfico, teremos:
Com os vértices A=(1,3), B=(5,1), e C=(-1,-2). ;)
Passo 3
Precisamos escrever equações que ligam um vértica ao outro, então vamos chamar de do vértice A pro B, do vértice B pro C e do vértice C pro A.
Passo 4
Agora precisamos dividir a área em duas, uma com de -1 até 1 e outra com de 1 até 5, assim ó...
Então ficaremos com uma área com acima e abaixo até e outra área com acima e abaixo de 1 até . As duas juntas dão a área do triângulo
Passo 5
Para um soma de Riemann, pela definição 5.5.1, temos:
(no caso é o valor da nossa área )
Mas como assim? Precisamos calcular os retângulos sob a curva e somá-los para então obter a área sob a curva. Então, a área de cada retângulo é , onde é a nossa função que tá por cima mas num ponto que pertence a . A norma da partição é ||||, quando o limite disso tende a zero, muitos retângulos “finos” serão calculados, melhorando o cálculo da área. Certinho? Vamos escrever esse limite...
Show? =]
Passo 6
Agora vamos calcular esse limite
Pela definição 5.5.2 esse limite pode ser calculado como uma integral de , assim ó:
Resolvendo...
Prontinho, calculamos a área pela soma de Riemann :D
Resposta