Determine a área das região em forma de hélice compreendida entre a curva

e

Esboçando o gráfico da função, seja por um software, ou substituindo alguns valores em cada umas das funções para obter pontos, teremos um gráfico como esse ou parecido,

Onde, pelo que podemos ver em parte do intervalo é a função que está por cima , é a função que está por baixo e a parte hachurada é região que desejamos calcular a área. Porém depois de um certo tempo isso muda e é a função que está por cima eé a função que está por baixo.

Antes de definirmos a “cara” da integral precisamos definir quais os intervalos de integração, pois lembre que no enunciado isso não foi dado, ou seja, precisamos encontra-los.

Para isso, podemos usar três maneiras, uma delas é olhar para o gráfico das funções e ver os pontos em comum entre elas , outro modo é igualar e ,e o terceiro é substituir valores específicos em que as duas funções dão o mesmo valor. Por exemplo

Quando teremos que ,

Sendo assim, encontraremos três valores em que ambas as funções serão iguais, são eles e .

Esses pontos que “dirão” como será nosso intervalo de integração, pois percebe que no gráfico eles delimitam até onde cada região deve ser calculada.

Nesse caso quando , , já quando , , Sendo assim, pela definição temos que a integral da região será:

Utilizamos duas integrais para calcular a região pois no gráfico haviam duas partes hachuradas.

Já que já encontramos a “cara” integral que para determinar a área, então vamos partir para os cálculos e ver quando essa integral vai dar. Mas para não nos confundirmos vamos calcular cada uma separadamente,

Calculando a integral 1

Usando a regra da subtração (integral da subtração é a subtração das integrais)

Resolvendo respectivamente as integrais,

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo Parte II,

Assim a integral 1 é:

Resolvendo a integral 2:

Utilizando os mesmos artifícios e regras usados na integral 1 encontraremos que,

Assim a integral 2 é:

Portanto,