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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 41

39-42. Calcule a integral fazendo a substituição que converte o integrando em uma função racional.

41. ∫ e 3 x e 2 x + 4 d x

Passo 1

Então pessoal, uma substituição interessante para a integral que nos foi dada é essa aqui ó:

u = e x

Disso tiramos que:

d u = e x d x

Substituindo esses valores na nossa integral, teremos:

∫ e 3 x e 2 x + 4 d x = ∫ u 2 u 2 + 4 d u

Perfeito, transformamos o integrando em uma função racional!

Passo 2

Para essa nossa nova integral, vamos reescrever u ² como:

u 2 = u 2 + 4 - 4

Substituindo, teremos:

∫ u 2 + 4 - 4 u 2 + 4 d u = ∫ u 2 + 4 u 2 + 4 d u - 4 ∫ d u u 2 + 4

∫ u 2 + 4 u 2 + 4 d u - 4 ∫ d u u 2 + 4 = ∫ d u - 4 ∫ d u u 2 + 4

Show, transformamos a nossa integral que antes era complicada em algo bem simplificado. A primeira integrla tem como resultado:

∫ d u = u + C 1

A segunda integral é uma integral tabelada, que tem como resultado:

∫ d u u 2 + 4 = 1 2 a r c tan ⁡ u 2 + C 2

Unindo as duas integrais:

∫ d u - 4 ∫ d u u 2 + 4 = u - 2 a r c tan ⁡ u 2 + C

Passo 3

Beleza, encontramos o resultado da integral, mas em termos de u , certo? Como u = e x , então:

∫ e 3 x e 2 x + 4 d x = e x - 2 a r c tan ⁡ e x 2 + C

E esse é o nosso resultado, pessoal! 😉

Resposta

∫ e 3 x e 2 x + 4 d x = e x - 2 a r c tan ⁡ e x 2 + C

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