Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.6 - Ex. 1h
Calcule.
Passo 1
Como o grau do numerador é maior que o grau do denominador, vamos dividir os dois:
Dividindo por vamos ter um quociente e resto , assim:
Vamos lá transformar a expressão usando Frações parciais, aqui já tá prontinho, não é preciso manipular nada, é só usar o Caso I, onde o denominador é um produto de fatores lineares sem repetição:
Pronto, agora vamos resolver as três separadamente.
Passo 2
Na primeira é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Agora é só aplicar:
Passo 3
Com a segunda para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Aplicando:
Passo 4
Para calcular a terceira integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais.
Vamos manipular um pouco:
Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:
Vamos achar os valores de , e , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores :
Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:
Passo 5
Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de e de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:
Vamos multiplicar a primeira expressão por e somar com a segunda:
Assim também achamos pela primeira expressão:
Pronto, achamos os valores de , e , vamos agora substituir de volta na integral:
Passo 6
Agora é só juntar tudo: