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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 51

Suponha que a x 2 + b x + c seja um polinômio quadrático e que a integração de:

∫ 1 a x 2 + b x + c d x

Produza uma função sem termos trigonométricos inversos. O que isso nos diz sobre as raízes do polinômio?

Passo 1

Então galera, já que o polinômio em questão é quadrático, então podemos escrevê-lo da forma fatorada (para poder utilizar a técnica de frações parciais):

a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2

Utilizando nessa forma de produto, teríamos:

1 a x 2 + b x + c = A x - x 1 + B x - x 2

Para x 1 ≠ x 2 teríamos dois logaritmos naturais como resultado, sem termos trigonométricos inversos. Essa é a primeira análise!

Passo 2

Para x 1 = x 2 teríamos o seguinte:

a x 2 + b x + c = a x - x 1 2

Utilizando nessa forma de produto, teríamos:

1 a x 2 + b x + c = A x - x 1 + B x - x 1 2

E isso nos dá apenas um logaritmo natural como resultado, diferentemente do caso anterior! Para termos um resultado que aparece alguma função trigonométrica inversa, o denominador teria que ser, no mínimo, da forma:

1 a x + b 2 a 2 + c - b 2 4 a

Mas essa já é uma outra análise! Enfim, está aí nossa resposta, galera! 😉

Resposta

Para x 1 = x 2 → Um logaritmo natural na resposta;

Para x 1 ≠ x 2 → Dois logaritmos naturais na resposta.

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