Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.6 - Ex. 1j
Calcule.
Passo 1
Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais, entretanto aqui o grau do numerador não é menor que o do denominador, vamos então dividir os dois:
Temos então que:
Vamos dividir tudo por :
Vamos substituir na integral:
Agora vamos achar as raízes de usando Bhaskara:
Assim ficamos com:
Substituindo na integral:
Passo 2
Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:
Vamos achar os valores de , e , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores :
Agora vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:
Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de e de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:
Passo 3
Vamos somar as duas primeiras equações:
Vamos substituir o valor de e na primeira:
Substituindo o valor de achamos :
Pronto, achamos os valores de , e , vamos agora substituir de volta na integral:
Passo 4
Pronto, agora vamos resolver as três integrais separadamente.
Na primeira é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Agora é só aplicar:
Passo 5
Com a segunda é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Agora é só aplicar:
Passo 6
Com a última vamos usar a Regra da Substituição:
Vamos agora achar diferencial de , derivando:
Fazendo a substituição ficamos com:
Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Aplicando:
Passo 7
Agora é só juntar tudo:
Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável , é só substituir de volta o que você usou no começo: