Calcule.

∫ x 3 + 1 x 3 - x 2 - 2 x d x

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais, entretanto aqui o grau do numerador não é menor que o do denominador, vamos então dividir os dois:

Temos então que:

x 3 + 1 = x 3 - x 2 - 2 x ⋅ 1 + x 2 + 2 x + 1

Vamos dividir tudo por x 3 - x 2 - 2 x :

x 3 + 1 x 3 - x 2 - 2 x = x 3 - x 2 - 2 x ⋅ 1 x 3 - x 2 - 2 x + x 2 + 2 x + 1 x 3 - x 2 - 2 x →

→ x 3 + 1 x 3 - x 2 - 2 x = 1 + x 2 + 2 x + 1 x 3 - x 2 - 2 x

Vamos substituir na integral:

∫ x 3 + 1 x 3 - x 2 - 2 x d x = ∫ 1 + x 2 + 2 x + 1 x 3 - x 2 - 2 x d x = ∫ 1 + x 2 + 2 x + 1 x x 2 - x - 2 d x

Agora vamos achar as raízes de x 2 - x - 2 usando Bhaskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - - 1 ± - 1 2 - 4 ∙ 1 ∙ - 2 2 ∙ 1 = + 1 ± 9 2 = 1 ± 3 2

x = 1 + 3 2 = 4 2 = 2

x = 1 - 3 2 = - 2 2 = - 1

Assim ficamos com:

x 3 - x 2 - 2 x = x x 2 - x - 2 = x x - 2 x + 1

Substituindo na integral:

∫ 1 + x 2 + 2 x + 1 x x 2 - x - 2 d x = ∫ 1 + x 2 + 2 x + 1 x x - 2 x + 1 d x

Passo 2

Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

x 2 + 2 x + 1 x x - 2 x + 1 = A x + B x - 2 + C x + 1

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x x - 2 x + 1 :

x 2 + 2 x + 1 = A x - 2 x + 1 + B x x + 1 + C x x - 2

Agora vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

x 2 + 2 x + 1 = A x - 2 x + 1 + B x x + 1 + C x x - 2

x 2 + 2 x + 1 = A x 2 + x - 2 x - 2 + B x 2 + B x + C x 2 - 2 C x

x 2 + 2 x + 1 = A x 2 - x - 2 + B x 2 + B x + C x 2 - 2 C x

x 2 + 2 x + 1 = A x 2 - A x - 2 A + B x 2 + B x + C x 2 - 2 C x

x 2 + 2 x + 1 = x 2 A + B + C + x - A + B - 2 C + - 2 A

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x 2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + B + C = 1 - A + B - 2 C = 2 - 2 A = 1 → A = - 1 2

Passo 3

Vamos somar as duas primeiras equações:

2 B - C = 3 → C = 2 B - 3

Vamos substituir o valor de A e C = 2 B - 3 na primeira:

A + B + C = 1 → - 1 2 + B + 2 B - 3 = 1 → 3 B = 4 + 1 2 → 3 B = 9 2 → B = 3 2

Substituindo o valor de B achamos C :

C = 2 B - 3 = 2 ⋅ 3 2 - 3 = 3 - 3 = 0

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ 1 + x 2 + 2 x + 1 x x - 2 x + 1 d x = ∫ 1 + - 1 2 x + 3 2 x - 2 + 0 x + 1 d x = ∫ 1 - 1 2 x + 3 2 x - 2 d x = ∫ 1 d x + ∫ - 1 2 x d x + ∫ 3 2 x - 2 d x

Passo 4

Pronto, agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Na primeira é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k   d x = k x + C

Agora é só aplicar:

∫ 1 d x = x + C

Passo 5

Com a segunda é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ - 1 2 x d x = - 1 2 ∫ 1 x d x = - 1 2 ln ⁡ x + C

Passo 6

Com a última vamos usar a Regra da Substituição:

t = x - 2

Vamos agora achar diferencial de t , derivando:

d t = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 3 2 x - 2 d x = 3 2 ∫ 1 x - 2 d x = 3 2 ∫ 1 t d t

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

3 2 ∫ 1 t d t = 3 2 ln ⁡ t + C

Passo 7

Agora é só juntar tudo:

∫ x 3 + 1 x 3 - x 2 - 2 x d x = ∫ 1 d x + ∫ - 1 2 x d x + ∫ 3 2 x - 2 d x = x - 1 2 ln ⁡ x + 3 2 ln ⁡ t + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x 3 + 1 x 3 - x 2 - 2 x d x = x - 1 2 ln ⁡ x + 3 2 ln ⁡ t + C = x - 1 2 ln ⁡ x + 3 2 ln ⁡ x - 2 + C

Resposta

∫ x 3 + 1 x 3 - x 2 - 2 x d x = x - 1 2 ln ⁡ x + 3 2 ln ⁡ x - 2 + C

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