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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.3 - Ex. 9

Ache o centro, os vértices, os focos e as equações das assíntotas da hipérbole dada. Faça um esboço da curva e de suas assíntotas e mostre os focos.

x 2 - y 2 + 8 x - 2 y - 21 = 0

Passo 1

Primeiramente vamos passar a equação para a forma reduzida ao completarmos os quadrados de x e y .

x 2 + 8 x + 16 - y 2 - 2 y - 1 - 21 = - 1 + 16

x + 4 2 - 1 ∙ y 2 + 2 y + 1 = - 1 + 16 + 21

x + 4 2 - y + 1 2 = 36

x + 4 2 36 - y + 1 2 36 = 1

Desta forma temos que o centro é - 4 ,   - 1 . Além disso a 2 = b 2 = 36 que nos dão os valores dos eixos a = b = 6 .

Passo 2

Agora para achar os vértices tomamos o centro e somamos ou subtraímos a da coordenada da qual o eixo principal é paralelo. Neste caso temos que fazer isso em x .

V 1 = - 4 + 6 ,   - 1

V 1 = 2 ,   - 1

V 2 = - 4 - 6 ,   - 1

V 2 = - 10 , - 1

Passo 3

Para os focos o mesmo procedimento dos vértices pode ser aplicado, mas em relação a c . Assim basta encontrar c   pela Relação Pitagórica.

a 2 + b 2 = c 2

36 + 36 = c 2

6 2 = c

F 1 = - 4 + 6 2 ,   - 1

F 2 = - 4 - 6 2 ,   - 1

Passo 4

As assíntotas são dadas como f x : ( y - h ) = b a ( x - k ) e g x :   y - h = - b a ( x - k )

f x : ( y + 1 ) = 6 6 ( x + 4 )

f x : y = x + 3

g x :   y + 1 = - 6 6 ( x + 4 )

g x : y =   - x - 5

Resposta

C = - 4 ,   - 1

V 1 = 2 ,   - 1

V 2 = - 10 , - 1

F 1 = - 4 + 6 2 ,   - 1

F 2 = - 4 - 6 2 ,   - 1

f x = x + 3

g x =   - x - 5

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