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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.3 - Ex. 21

Ache a equação da hipérbole satisfazendo as condições dadas e faça um esboço do gráfico.

Um foco em 26 ,   0 e como assíntotas as retas 12 y = ±   5 x .

Passo 1

A fórmula para se encontrar a assíntota é y - h = ± b a ( x - k ) . Ao analisarmos a reta dada pelo enunciado, pode-se perceber que h = k = 0 , assim o centro da hipérbole é C   ( 0 ,   0 ) . E também já podemos identificar a = 12 k e b = 5 k , uma vez que k representa um número em comum desta divisão.

Passo 2

Como identificamos o centro como C   ( 0 ,   0 ) e temos um dos focos como 26 ,   0 . Assim a distância entre os dois pontos nos dá c = 26 . Agora usando a Identidade Pitagórica podemos encontrar k e consequentemente a e b .

c 2 = a 2 + b 2

26 2 = ( 12 k ) 2 + 5 k 2

676 = 144 k 2 + 25 k 2

676 = 169 k 2

4 = k 2

2 = k

a = 24 e b = 10

Passo 3

Agora vamos organizar a fórmula desta hipérbole, como o eixo principal da hipérbole é paralelo ao eixo   x , então   a deverá estar abaixo das coordenadas de   x e o mesmo deverá ser positivo.

x 2 24 2 - y 2 10 2 = 1

x 2 576 - y 2 100 = 1

Resposta

x 2 576 - y 2 100 = 1

Segue a representação gráfica desta hipérbole

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