Mostre que a amplitude focal da hipérbole é .

Certo. Utilizamos o passo 1 para definir a nossa hipérbole. Mas não é isto que a questão quer! Ela quer saber o comprimento da amplitude focal! Como proceder em relação a isso?

Antes de tudo. O que é a amplitude focal???

Bom, amplitude focal nada mais é do que uma corda da hipérbole (toca em dois pontos) e que é perpendicular ao segmento focal. Podemos ver abaixo a amplitude focal (segmento em vermelho):

Portanto, nosso trabalho é identificar quais são as coordenadas destes pontos que pertencem a hipérbole e são perpendiculares ao segmento focal e depois calcularmos a distância entre dois pontos!

E bom, podemos fazer isto de uma forma bem simples. Vamos analisar para os pontos e (mesmo procedimento para o ponto e ). Como pode ser observado pela imagem, os pontos e estão bem acima/abaixo do ponto . Portanto, eles possuem a mesma coordenada do foco .

Em outras palavras, podemos escrever as coordenadas do ponto da seguinte forma: . A questão é descobrir quem é este que satisfaça a equação da hipérbole, visto que assumimos que o ponto pertence a hipérbole!

Vamos descobrir agora quem é este das coordenadas de Então, basta substituirmos as coordenadas de na equação da hipérbole! Portanto,

Só que , pela definição da hipérbole. Portanto,

Tirando a raiz, vamos obter:

Cuidado para não se esquecerem do sinal negativo também! Enquanto o positivo será a coordenada do ponto , o valor negativo será o do ponto . Portanto, temos os seguintes pontos:

OBS: Se tivéssemos analisados os pontos e , a única diferença das coordenadas dos pontos seria a coordenada , que teria o valor . O valor de também seria .

Agora, só nos resta calcularmos a distância dos dois pontos para sabermos o comprimento do segmento focal. Portanto,

E assim provamos a relação da questão!