Questão 21. Calcule a integral indefinida

∫ c o t g - 1 z z   d x

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada ) não resolvera, além disso Note que o integrando c o t g - 1 z z   " não possui a forma [( a 2 - x 2 ), ( a 2 + x 2 ), ( x 2 - a 2 )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  2. Além disso, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integrais por frações parciais que é p ( X ) q x onde p ( X )e q x são polinômios

Obs ; Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Passo 2

Logo tentaremos integração por partes. Integração por partes envolve produto de duas funções.

Usando uma mudança de variável interessante, seja: x= z , então d x = 1 2 z   d z , veja que a expressão 1 2 z   d z , aparece no integrando, logo devemos substituir no integrando.

Passo 3

∫ c o t g - 1 z z   d z = ∫ c o t g - 1 z 1 z   d z = ∫ c o t g - 1 x . 2   d x = ∫ 2 c o t g - 1 x d x , ∫ 2 c o t g - 1 x d x

Agora assim que usamos a integração por partes.

F(x)= c o t g - 1 x f’(x)= - 1 1 + x 2

g’(x)= 2     → G(x)= 2x

Substituindo na formula temos; ∫ f x g ' ( x ) d x = f x g x - ∫ f ' x g x d x

2 ∫ c o t g - 1 x d x = 2 x   c o t g - 1 x + ∫ 2 x   1 1 + x 2   d x

Passo 4

Resolvendo essa integral separadamente ∫ 2 x   1 1 + x 2   d x

temos : ∫ 2 x 1 + x 2   d x .

Agora usando uma substituição simples:

Seja u =   1 + x 2     →     d u d x   = 2 x   →     d u 2   =   2 x   d x   = ∫ d u u = l n   u   =   l n   ( 1 + x 2 )   ,  

substituindo na equação original.

∫ 2 c o t g - 1 x d x = 2x c o t g - 1 x +ln ( 1 + x 2 ) + c

= 2 z c o t g - 1 z +ln ( 1 + z ) + c.

Resposta

2 z c o t g - 1 z +ln ( 1 + z ) + c.

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