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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.1 - Ex. 21

Questão 21. Calcule a integral indefinida

int (c o t g^(- 1) sqrt(z))/(sqrt(z)) d x

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada ) não resolvera, além disso Note que o integrando (c o t g^(- 1) sqrt(z))/(sqrt(z)) " não possui a forma [( sqrt(a^2 - x^2) ), ( sqrt(a^2 + x^2) ), ( sqrt(x^2 - a^2) )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  2. Além disso, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integrais por frações parciais que é (p ( X ))/(q (x)) onde p ( X )e q (x) são polinômios

Obs ; Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Passo 2

Logo tentaremos integração por partes. Integração por partes envolve produto de duas funções.

Usando uma mudança de variável interessante, seja: x= sqrt(z) , então d x = (1)/(2 sqrt(z)) d z , veja que a expressão (1)/(2 sqrt(z)) d z , aparece no integrando, logo devemos substituir no integrando.

Passo 3

int (c o t g^(- 1) sqrt(z))/(sqrt(z)) d z = int c o t g^(- 1) sqrt(z) (1)/(sqrt(z)) d z = int c o t g^(- 1) x . 2 d x = int 2 c o t g^(- 1) x d x , int 2 c o t g^(- 1) x d x

Agora assim que usamos a integração por partes.

F(x)= c o t g^(- 1) x -> f’(x)= (- 1)/(1 + x^2)

g’(x)= 2 -> G(x)= 2x

Substituindo na formula temos; int f (x) g ' ( x ) d x = f (x) g (x) - int f^(' (x)) g (x) d x

2 int c o t g^(- 1) x d x = 2 x c o t g^(- 1) x + int 2 x (1)/(1 + x^2) d x

Passo 4

Resolvendo essa integral separadamente int 2 x (1)/(1 + x^2) d x

temos : int (2 x)/(1 + x^2) d x .

Agora usando uma substituição simples:

Seja u = 1 + x^2 -> (d u)/(d x) = 2 x -> (d u)/(2) = 2 x d x = int (d u)/(u) = l n u = l n ( 1 + x^2 ) ,

substituindo na equação original.

int 2 c o t g^(- 1) x d x = 2x c o t g^(- 1) x +ln ( 1 + x^2 ) + c

= 2 sqrt(z) c o t g^(- 1) sqrt(z) +ln ( 1 + z ) + c.

Resposta

2 sqrt(z) c o t g^(- 1) sqrt(z) +ln ( 1 + z ) + c.

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