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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 20b

Determine, em cada caso, os vértices, os focos, as extremidades do eixo conjugado e as equações das assíntotas da hipérbole:

  1. 25 x 2 - 144 y 2 = 3600
  2. 16 x 2 - 25 y 2 = 400
  3. y 2 - x 2 = 16
  4. 9 y 2 - 4 x 2 = 36
  5. 3 x 2 - y 2 = 3
  6. x 2 - y 2 = m 2   ( m > 0 )

Passo 1

O nosso primeiro passo para identificar os vértices, focos, extremidades do eixo conjugado e equações das assíntotas, é colocar a hipérbole na sua forma reduzida. Ela pode assumir qualquer uma das duas formas a seguir:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

- x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

O importante mesmo é deixar unitário no segundo membro!

Portanto, vamos adaptar a nossa função para a forma reduzida da hipérbole.

16 x 2 - 25 y 2 = 400

16 x 2 - 25 y 2 4 00 = 4 00 4 00

x 2 40 0 16 - y 2 4 00 25 = 1

x 2 25 - y 2 16 = 1

Passo 2

Como o sinal negativo acompanha a variável y , sabemos então que a hipérbole, que está centrada na origem, possui vértices e focos no eixo O x .

Os parâmetros geométricos da nossa hipérbole são:

a 2 = 25 ⟹ a = 5

b 2 = 16 ⟹ b = 4

Calculando o parâmetro c , temos:

c 2 = a 2 + b 2 = 25 + 16 = 41

c = 41

Agora já temos todas as informações necessárias para determinar o que a questão pede.

Os vértices estão localizados em A = ± a , 0 . Portanto, estão em A = ± 5 , 0 .

Os focos estão em F = ± c , 0 . Portanto, F = ± 41 , 0

As extremidades do eixo conjugado estão em B = 0 , ± b . Portanto, B = 0 , ± 4 .

Por fim, as assíntotas são dadas por:

y = ± b a x

y = ± 4 5 x

Resposta

Os vértices estão localizados em A = ± 5 , 0

Os focos estão em F = ± 41 , 0 .

As extremidades do eixo conjugado estão em B = 0 , ± 4 .

Por fim, as assíntotas são dadas por:

y = ± 4 5 x

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