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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.3 - Ex. 43

Ache uma equação da reta norma à curva y = l n x que seja paralela à reta x + 2 y - 1 = 0 .

Passo 1

Para que a reta normal seja paralela à reta dada, ela precisa possuir o mesmo coeficiente angular da reta x + 2 y - 1 = 0 . Assim,

x + 2 y - 1 = 0 2 y = 1 - x y = 1 2 - x 2 Logo, o coeficiente angular da nossa reta normal deverá ser m = - 1 2 .

Passo 2

Sabemos que a reta normal é perpendicular a reta tangente e por isso seus coeficientes angulares satisfazem a relação: m*n = -1. O coeficiente da reta tangente é o inverso da reta normal, ou seja, se m é o coeficiente da reta normal, o coeficiente da tangente será n = - 1 / m . Desse modo, o coeficiente da reta tangente nessa caso será n = - 1 m = 2 .

A derivada de y = l n x é dada por:

d y d x = 1 x

Como a derivada indica o coeficiente angular da reta tangente à curva, temos a seguinte igualdade:

1 x = 2 x = 1 2 Assim, temos o ponto por onde passa a curva normal que queremos: 1 2 ; ln ⁡ 1 2

Passo 3

Logo, a equação da reta normal pode ser definida como:

y - y o = m * x - x o y - ln ⁡ 1 2 = - 1 2 * x - 1 2 y - ln ⁡ 1 2 = - x 2 + 1 4

Resposta

A equação normal à curva é:

y - ln ⁡ 1 2 = - x 2 + 1 4

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