A regra da mecânica para aproximar raízes quadradas afirma que raiz(a) ≈ x_n+1 , onde:

x_(n+1) = 1 / 2 (x_n + a / x_n), n = 1, 2, 3, …

E x₁ é qualquer aproximação positiva de raiz(a) .

Aplique o Método de Newton a

f(x) = x^2 - a

Para deduzir a regra da mecânica.

Use-a para aproximar raiz(10) .

Passo 1

Tudo joia?

Aqui a gente tem que deduzir essa regra utilizando o método de Newton. Primeiramente, a gente precisa saber que:

Pra usar o método de Newton, a gente precisa fazer:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Vamos derivar a função então:

f ' x = 2 x

Em que o nosso x n é uma aproximação de a . Bora aplicar isso ali então.

Passo 2

Pelo método de Newton, a gente vai fazer:

x n + 1 = x n - x n 2 - a 2 x n

Desenvolvendo um cadinho...

x n + 1 = x n - x n 2 2 x n + a 2 x n

x n + 1 = x n - x n 2 + a 2 x n

x n + 1 = x n 2 + a 2 x n

x n + 1 = 1 2 x n + a x n

E chegamos a fórmula da regra da mecânica! 😍

Passo 3

Vamos usar essa relação então para aproximar 10 . A gente vai ter a = 10 e podemos colocar x 1 = 3 . Olha só:

x 2 = 1 2 3 + 10 3 = 3,1667

x 3 = 1 2 3,1667 + 10 3,1667 = 3,1623

Então vamos parar por aqui, e deixar nossa raiz sendo aproximadamente 10 ≈ 3,16 .

😽

Resposta

  1. Demonstração.
  2. 3,16
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Encontre dy / dx .y = ln(2 + raiz(x))
Encontre dy/dx .y = ln(1 + x)
Encontre dy/dx .y = x^3 * ln(x)
Encontre dy/dx .y = raiz(ln(x))
Encontre dy/dx .y = ln(x / 3)