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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.7 - Ex. 25

A regra da mecânica para aproximar raízes quadradas afirma que a ≈ x n + 1 , onde:

x n + 1 = 1 2 x n + a x n ,   n = 1,2 , 3 …

E x 1 é qualquer aproximação positiva de a .

Aplique o Método de Newton a

f x = x 2 - a

Para deduzir a regra da mecânica.

Use-a para aproximar 10 .

Passo 1

Tudo joia?

Aqui a gente tem que deduzir essa regra utilizando o método de Newton. Primeiramente, a gente precisa saber que:

Pra usar o método de Newton, a gente precisa fazer:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Vamos derivar a função então:

f ' x = 2 x

Em que o nosso x n é uma aproximação de a . Bora aplicar isso ali então.

Passo 2

Pelo método de Newton, a gente vai fazer:

x n + 1 = x n - x n 2 - a 2 x n

Desenvolvendo um cadinho...

x n + 1 = x n - x n 2 2 x n + a 2 x n

x n + 1 = x n - x n 2 + a 2 x n

x n + 1 = x n 2 + a 2 x n

x n + 1 = 1 2 x n + a x n

E chegamos a fórmula da regra da mecânica! 😍

Passo 3

Vamos usar essa relação então para aproximar 10 . A gente vai ter a = 10 e podemos colocar x 1 = 3 . Olha só:

x 2 = 1 2 3 + 10 3 = 3,1667

x 3 = 1 2 3,1667 + 10 3,1667 = 3,1623

Então vamos parar por aqui, e deixar nossa raiz sendo aproximadamente 10 ≈ 3,16 .

😽

Resposta

  1. Demonstração.
  2. 3,16
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