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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.7 - Ex. 2

Nestes exercícios, dê as respostas com tantas casas decimais quantas forem permitidas por seu recurso computacional, mas siga o procedimento delineado na caixa Domínio da Tecnologia à página 298 .

Aproxime 5 aplicando o Método de Newton à equação x 2 - 5 = 0 .

Passo 1

Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Vamos precisar de f ' x , vamos calcular então!!

Passo 2

Para achar a derivada de f vamos usar duas regras de derivação, o da função constante e do polinômio:

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x :

f ' x = x 2 - 5 ' = 2 x 2 - 1 - 0 = 2 x

Passo 3

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - x n 2 - 5 2 x n

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , vamos usar x 1 = 3 , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x 1 2 - 5 2 x 1 = 3 - 3 2 - 5 2 ⋅ 3 ≈ 2,333333333

Vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - x 2 2 - 5 2 x 2 = 2,333333333 - 2,333333333 2 - 5 2 ⋅ 2,333333333 ≈ 2 , 2380952381

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - x 3 2 - 5 2 x 3 = 2,2380952381 - 2,2380952381 2 - 5 2 ⋅ 2,2380952381 ≈ 2,23 60688956

Vamos lá, uma hora acaba, agora x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - x 4 2 - 5 2 x 4 = 2,2360688956 - 2,2360688956 2 - 5 2 ⋅ 2,2360688956 ≈ 2,23606 79775

Vamos achar x 6 :

x 5 + 1 = x 6 = x 5 - x 5 2 - 5 2 x 5 = 2,2360679775 - 2,2360679775 2 - 5 2 ⋅ 2,2360679775 ≈ 2,2360679775

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 2,2360679775 .

Resposta

A raiz é 2,2360679775 .

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Encontre f ' ( x ) pela Fórmula (7) e, então, por derivação logarítmica: f x = π s e n ( x )
Encontre d y d x usando qualquer método: y = x 3 - 2 x 2 + 1 e x
Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Explique a resposta:Se lim x → + ∞ ⁡ f ' x = 0 , então o gráfico de y = l n ⁡ ( x ) tem uma assíntota horizontal.
Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Explique a resposta:A inclinação da reta tangente ao gráfico y = l n ⁡ ( x ) em x = a tende ao infinito em a → 0 + .