Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.Revisão - Ex. 45
Ache uma equação da reta que passa pelo ponto de interseção das retas e e é perpendicular à reta , sem determinar o ponto de interseção das retas. (Sujesão: veja o Exercício 58 nos Exercícios 1.2).
Passo 1
Para isso, vamos utilizar o conceito de combinação linear: quando w é uma combinação linear entre u e v, podemos escrever w em função de u e v como , para quaisquer . Além disso, devemos lembrar da condição para que duas retas r e s sejam perpendiculares: , em que os m são os coeficientes angulares das retas.
Passo 2
Como o sistema entre as duas primeiras retas dadas delimita um ponto, qualquer outra reta que passe por esse ponto deve satisfazer o sistema também, ou seja, sua equação é uma combinação linear das equações do sistema. Então, a equação da reta r desejada é
Agrupando as variáveis x e y e dividindo tudo por a (para ):
Chamando e isolando y (para ), temos
Passo 3
O coeficiente angular da terceira reta dada no enunciado é
Passo 4
Como r e s são perpendiculares, temos
Passo 5
Substituindo na equação encontrada do passo 2, temos