Escreva uma equação reduzida da elipse, nos casos:

1. O centro é , os focos estão em , o eixo menor mede 6, e a distância focal é 8.
2. O centro é , os focos estão em , o eixo maior mede 10, e a distância focal é 6.
3. Os focos são e , e o eixo maior mede 34.
4. Os focos são e e um dos vértices é .
5. Os focos são e e um dos vértices é .
6. As extremidades do eixo menor são e , e a amplitude focal é 8/5.
7. Os focos são e e a amplitude focal é 2.
8. O centro é a origem, é um foco, e o ponto pertence a elipse.

A equação reduzida de uma elipse centrada na origem é da forma:

O centro da elipse é no ponto médio entre os dois focos. Portanto,

Portanto, a elipse realmente está centrada na origem! Além disto, como os focos estão localizados no eixo , o denominador maior é . Podemos representar então, utilizando a definição de que , a elipse da seguinte forma:

Bom, vamos utilizar as relações do foco e da amplitude focal.

Sabemos que os focos têm coordenadas . Só que quem é ? Este parâmetro é obtido pela seguinte relação de e :

Temos assim a nossa primeira relação entre e . E qual seria a segunda? Aí, temos que partir para a amplitude focal.

Sabemos que, para uma elipse, a amplitude focal é calculada por . Portanto,

Substituindo esta segunda relação na nossa primeira, temos:

As soluções para esta equação do segundo grau são e . Como, por definição, o parâmetro geométrico é um número positivo, então, . Consequentemente,

E, desta forma, temos a seguinte equação da elipse: