Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 33
Ache o limite
Sugestão: Primeiro obtenha uma fração com um numerador racional.
Passo 1
Se tentarmos substuir o infinito vamos achar uma indeterminação. Vamos seguir a sugestão dele. Mas como fazermos isso?
Quando nos depararmos com uma subtração de tendo um dos termos sendo uam raiz quadrada, basta multiplicarmos pelo conjugado.
Vamos olhar a fração:
Vamos multiplicar da seguinte forma:
Opa, chegamos na fração que ele queria.
Esse é aquele limite que temos de polinômio sobre polinômio, com indo para .
Pera, mas tem uma raiz? Não importa. Tem um polinômio dentro da Raiz? Então vamos usar a mesma ideia desse tipo de questão.
Para resolvê-los temos que colocar o termo de maior grau em evidência no numerador e depois a mesma coisa no denominador para simplificarmos e acharmos a resposta.
Vamos trabalhar só com a fração, depois colocamos no limite
Passo 2
O nosso numerador é
Colocando em evidência, vamos ter:
Passo 3
O nosso Denominador é
Colocando em evidência dentro da raiz, vamos ter
Podemos tirar aquele da raiz.
Temos
Lembrando que ela precisa ser sempre positiva, então devemos colocar um módulo quando cortarmos a potência com a raiz.
Nosso denominador vai ficar
Como ele está pedindo o limite em , os valores de são positivos. Então,
Nossa fração vai ficar:
Agora colocarmos o em evidência em tudo.
Passo 4
A nossa fração vai ficar
Agora, vamos tomar o limite
Lembrando que o limite de um número sobre é sempre , vamos ter