Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de , determinando o seguinte:

Os extremos relativos de ;

Os pontos de inflexão do gráfico de ;

Os intervalos em que é crescente

Os intervalos em que é decrescente;

Onde o gráfico é côncavo para cima;

Onde o gráfico é côncavo para baixo;

A inclinação de qualquer tangente de inflexão;

As assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, se existirem

Agora vamos aos limites.

Vai ficar:

Colocando em evidência:

Então não temos assíntota horizontal desse lado.

Agora vamos aos limites.

Vai ficar:

Colocando em evidência:

Então não temos assíntota horizontal desse lado.

Agora vamos para as assíntotas oblíquas. Só vamos fazer essas assíntotas se não existirem as horizontais. Elas substituem as horizontais por cada lado.

Se as assíntotas horizontais não existirem, talvez existir a oblíqua. Para isso, devemos achar os coeficientes e de que é a equação da assíntota obliqua.

De novo, por contas domínio, só vamos olhar para o

Para isso, devemos fazer

Se esse valor existir, aí fazemos

Para acharmos a derivada, vamos usar a regra do produto:

Agora vamos aos limites.

Vai ficar:

Então temos assíntota oblíqua desse lado.

Vamos achar o valor de

Colocando os valores:

Pera, achamos o mas o deu infinito. Isso pode rolar, basicamente isso faz com que a nossa assíntota não exista.

Pelo outro lado

Vai ficar:

Então temos assíntota oblíqua desse lado.

Vamos achar o valor de

Colocando os valores:

Pera, achamos o mas o deu infinito. Isso pode rolar, basicamente isso faz com que a nossa assíntota não exista.

Entao não tereos nenhuma assíntota obliqua

Vamos para as verticais. Para isso, temos que procurar algum valor de que faça o limite ir para . Normalmente procuramos quando o denominador da fração for . Aqui, temos uma potencia racional, que é uma fração na potência. Nesses casos não teremos assíntotas verticais.

Vamos aos extremos e os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso temos que analisar o sinal de .

Vamos arrumar isso

Para analisar isso, temos que fazer o quadro de sinais.

Então, vamos ter:

Lembrando que o domínio limita a função em

A função é crescente se e decrescente se , então:

Agora vamos ver os extremos. Pelo teste da primeira derivada, teremos máximo quando a função vai de crescente para decrescente, e mínimo quando a função for de decrescente para crescente.

Vamos agora para a concavidade e os pontos de inflexão. A função é côncava para cima se e côncava para baixo se .

O ponto vai ser de inflexão quando muda a concavidade.

Vamos pegar

Derivando

Essa expressão é sempre negativa, isso porque temos um expoente par no , fazendo ele ser sempre positivo. AO multiplicar por fica negativo.

Vamos ter

Então:

Isso também nos diz que não temos ponto de inflexão.

Para terminar vamos ao esboço. Para isso, precisamos juntar todas as informações.

Não possui assíntota

O gráfico vai ficar: