Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 32
Ache o limite
Sugestão: Primeiro obtenha uma fração com um numerador racional.
Passo 1
Se tentarmos substuir vamos achar uma indeterminação (), e não vamos conseguir resolver.
Vamos seguir a sugestão do enunciado. Mas como fazemos isso que ele quer?
Quando nos deparamos com uma subtração onde um dos termos é uma raiz quadrada, basta multiplicarmos pelo conjugado.
Vamos olhar a expressão:
Nosso conjugado vai ser:
Vamos então multiplicar da seguinte forma:
Opa, chegamos na fração que ele queria! Agora vamos olhar pro que a gente ficou!
Esse é aquele limite que temos de polinômio sobre polinômio, com indo para .
Pera, mas tem uma raiz? Não importa. Como tem um polinômio dentro da Raiz, vamos usar a mesma ideia desse tipo de limite.
Para resolvê-los temos que colocar o termo de maior grau em evidência no numerador e depois a mesma coisa no denominador para simplificarmos e acharmos a resposta.
Passo 2
O nosso numerador é .
Aqui só temos um termo, então não precisamos colocar nada em evidência.
Já o nosso denominador é:
Colocando em evidência dentro da raiz, vamos ter:
Podemos tirar aquele da raiz.
Como ele está pedindo o limite em , os valores de são positivos.
Nosso denominador vai ficar então:
Colocando o em evidência em tudo:
Passo 3
Voltando pra nossa fração, ela vai ficar:
Agora, vamos achar o limite!
Lembrando que , vamos ter: