Ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número e para a função definida pela equação dada.
Passo 1
A questão pede para acharmos o polinômio de Taylor de ordem da função no ponto . Além disso, pede para darmos uma expressão para o resto de Lagrange.
O polinômio de ordem em torno de :
Já o resto é dada por
para algum entre a .
Passo 2
Desta forma, precisamos achar . É evidente que
Derivando,
Derivando novamente,
Fazendo isso mais uma vez:
Portanto, o polinômio de Taylor de ordem será
Logo,
Passo 3
Para o resto, tomamos a quarta derivada
Assim, para algum entre e :