Exercícios de Polinômio de Taylor para f(x) - Lista de Exercícios Resolvida

Determine o polinômio de Taylor de grau da função no ponto

Determine o polinômio de Taylor de grau da função no ponto .

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta do dado.

Determine o polinômio de Taylor de grau da função em torno do ponto

1) Seja dada por .

a) Determine o polinômio de Taylor de ordem 3 de em torno de .

b) Use o item anterior para obter uma aproximação, na forma de fração irredutível, de . Mostre também que o erro cometido nesta aproximação é inferior, em módulo, a .

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Determine as séries de Taylor das seguintes funções com centro x = 0.

Determine as séries de Taylor das seguintes funções com centro x = 0.

Escreva o polinômio de Taylor de grau de em e use o polinômio para aproximar .

1) Aproxime em com um polinômio de Taylor de grau e com um polinômio de grau . A seguir calcule os valores destas aproximações em e e compare com os valores corretos.

Aproxime

Em torno de com um polinômio de Taylor de grau três e com um polinômio de grau quatro. A seguir, calcule os valores destas aproximações em e e compare com os valores corretos.

Usando um polinômio de Taylor de ordem 2 ao redor de 1, a aproximação correta nas três primeiras casas decimais que obtemos para é:

a)

b)

c)

d)

e)

Usando um polinômio de Taylor de ordem 2 ao redor de 1, a aproximação correta nas três primeiras casas decimais que obtemos para é:

a)

b)

c)

d)

e)

Use o polinômio de Tyalor de ordem dois de no ponto para obter uma aproximação de .

Sabe-se que uma função duas vezes diferenciável satisfaz a equação:

1. Calcule e no ponto .
2. Encontre o polinômio de Taylor de grau dois em torno do ponto .

Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em torno de

Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em torno de

Calcule os polinômios de Taylor de ordem um, dois e três da função em .

Usando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule o valor aproximado de:

Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em torno de

Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em torno de

Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em torno de

Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 de em torno de

em torno de 0

Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 de em torno de

em torno de 0

Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 de em torno de

em torno de 1

Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 de em torno de

em torno de 0

Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em torno de

Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 de em torno de

em torno de 0

Usando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule o valor aproximado de:

Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 de em torno de

em torno de 0

Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 de em torno de

em torno de 0

Usando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule o valor aproximado de:

Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 de em torno de

em torno de 1

Usando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule o valor aproximado de:

Usando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule o valor aproximado de:

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Prove que se é uma função par, então o polinômio de Taylor de grau em torno de contém apenas potências pares de . (Sugestão: prove que )

Ache o polinômio de Taylor de ordem da função

ao redor de .

Utilizando o polinômio de Taylor de ordem , calcule um valor aproximado e avalie o erro.

a)

Utilizando o polinômio de Taylor de ordem , calcule um valor aproximado e avalie o erro.

b)

Utilizando o polinômio de Taylor de ordem , calcule um valor aproximado e avalie o erro.

c)

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Calcule o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada, em torno de dado:

Usando um polinômio de Taylor de ordem 2 ao redor de 1, a aproximação correta nas três primeiras casas decimais que obtemos para é:

a)

b)

c)

d)

e)

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 1, calcule um valor aproximado e avalie o erro

para:

b.

Mostre que:

Seja n natural ímpar. Mostre que, para todo

Mostre que

b)

Determine o polinômio de Taylor de ordem da função em torno de .

Mostre que

a)

Determine , o polinômio de Taylor de ordem da função em torno de e dê a fórmula para o erro . Use esse polinômio com um conveniente para avaliar com erro inferior a .

(a) Seja um inteiro ímpar. Mostre que:

(b) Avalie com erro inferior a .

(a) Determine o polinômio de Taylor de ordem da função em torno de .

(b) Avalie com erro, em módulo, inferior a .

Calcule ou mostre que não existe.

Calcule ou mostre que não existe.

Calcule ou mostre que não existe.

Restrição: o uso da Regra de L’Hôpital só poderá ser utilizado em apenas um dos itens.

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Mostre que o polinômio de Taylor, de qualquer ordem,

Parte1: de é sempre uma função par

Parte 2: e que o polinômio de Taylor de de qualquer ordem, é sempre uma função ímpar.

Mostre que o polinômio de Taylor, de qualquer ordem,

Parte1: de é sempre uma função par

Parte 2: e que o polinômio de Taylor de de qualquer ordem, é sempre uma função ímpar.

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Na teoria da relatividade especial, a massa de um objeto se movendo com

velocidade é

onde é a massa do objeto em repouso e é a velocidade da luz. Neste caso a

energia cinética é dada por

Já a energia cinética na física clássica é calculada como

Use o Exercício 8 para mostrar que quando a velocidade é pequena

comparada com a velocidade da luz.

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

3) Calcule os polinômios de Taylor de ordem um, dois e três das funções em e da função em . A seguir , calcule os valores destas aproximações em e e compare com os valores corretos.

Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em torno de

Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 de em torno de

em torno de 1

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

A função definida por

Possui todas as derivadas.

Calcule a série de Taylor de .

Dica: Use que

Para concluir que se então

Aproxime usando polinômios de Taylor de de ordem e .

Calcule o polinômio de Taylor de ordem da função dada, em volta de dado.

Calcule os polinômios de Taylor de ordem um, dois e três da função em e da função em . A seguir, calcule os valores destas aproximações em e e compare com os valores corretos.

Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em torno de

Sejam e duas funções que admitem derivadas de qualquer ordem, tais que e são os respectivos polinômios de Taylor de ordem em torno de .

Assinale, dentre as alternativas abaixo, precisamente aquelas que são verdadeiras (marcar uma incorreta descontará nota):

Escolha uma ou mais:

O polinômio de Taylor de ordem para a função , em torno de , é

Se é o polinômio de Taylor de ordem de em torno de , então .

Se , para algum , então .

Se é uma função par, então é a soma de monômios com potências pares de .

Determine as séries de Taylor das seguintes funções com centro x = 0.

Calcule uma aproximação para que seja correta até a casa decimal.

Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 de em torno de

em torno de 1

Usando um polinômio de Taylor de ordem 2 ao redor de 1, a aproximação correta nas três primeiras casas decimais que obtemos para é:

a)

b)

c)

d)

e)

Sejam e duas funções que admitem derivadas de qualquer ordem, tais que e são os respectivos polinômios de Taylor de ordem em torno de .

Assinale, dentre as alternativas abaixo, precisamente aquelas que são verdadeiras (marcar uma incorreta descontará nota):

Escolha uma ou mais:

O polinômio de Taylor de ordem para a função , em torno de , é

Se é o polinômio de Taylor de ordem de em torno de , então .

Se , para algum , então .

Se é uma função par, então é a soma de monômios com potências pares de .

Calcule o polinômio de Taylor das funções até ordem no ponto . Quem é maior ?

Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em torno de

Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 de em torno de

em torno de 1

Mostre que a curva tem duas tangentes em (0, 0) e ache suas equações. Faça um esboço da curva.

c. Mostre que , .

Use o seguinte roteiro para provar que é irracional.

Use a Fórmula de Taylor com resto de Lagrange para provar que, para cada número inteiro temos

,

onde satisfaz .

Use o seguinte roteiro para provar que é irracional.

Suponha, por absurdo, que seja racional e escreva , onde são inteiros positivos. Escolha um número inteiro tal que e . Use o item anterior para concluir que

Use o seguinte roteiro para provar que é irracional.

Mostre que cada termo do lado direito da igualdade acima é um número inteiro (aqui a desigualdade será crucial). Deduza que também é inteiro.

Use o seguinte roteiro para provar que é irracional.

Usando as desigualdades e , mostre que . Obtenha uma contradição e conclua que não pode ser racional.

Seja uma função de classe e suponha que seja um ponto crítico de . Mostre que:

b. se , então é um ponto de máximo local de ;