Enunciado

Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.

5 .   f x = s e n x ; a = π 6 ; n = 3 .

Passo 1

Nesta questão o enunciado não nos fornece muitas informações, somente o que ele quer que encontramos mesmo. Para isso, basta aplicarmos a formula do polinômio de Taylor do enésimo grau apresentada ao longo da Seção. Devemos também utilizar a formula para o cálculo do resto de Lagrange.

O Polinômio de Taylor de enésimo grau da função f no número a é dado por:

P n x = f a + f ´ a 1 ! . x - a + f ´ ´ a 2 ! . x - a 2 + … + f n a n !   . x - a n

Já o resto de Lagrange é dado por :

R n x = f n + 1 ε n + 1 ! . x - a n + 1   o n d e   ε   e s t á   e n t r e   a   e   x  

Passo 2

Sendo assim, para a função dessa questão o polinômio de Taylor ficaria da seguinte forma:

P 3 x = f π 6 + f ´ π 6 1 ! . x - π 6 + f ´ ´ π 6 2 ! . x - π 6 2 + f 3 π 6 3 !   . x - π 6 3

Agora nos resta calcular a primeira, segunda e terceira derivada aplicada no número a = π 6 .

Como f x = s e n   x , temos que :

f π 6 = s e n ( π 6 ) = 1 / 2

Passo 3

Calculando a primeira derivada e aplicando no número a   teremos:

f ´ x = c o s x

f ´ π 6 = 3 / 2

Passo 4

Calculando a segunda derivada e aplicando no número a   teremos:

f ´ ´ x = - s e n x

f ´ ´ π 6 = - 1 / 2

Passo 5

Calculando a terceira derivada e aplicando no número a   teremos:

f 3 x = - c o s x

f 3 π 6 = - 3 / 2

Passo 6

Sendo assim, substituindo os valores encontrados na fórmula geral para o polinômio de Taylor desta questão , vem :

P 3 x = 1 2 + 3 2 1 ! . x - π 6 + - 1 / 2 2 ! . x - π 6 2 + - 3 / 2 3 !   . x - π 6 3

P 3 x = 1 2 + 3 2 x - π 6 - 1 4 x - π 6 2 - 3 12 x - π 6 3

Passo 7

Como para o cálculo do resto, necessitamos de f n + 1 ( ε ) , calculemos a quarta derivada da função dada:

f 4 x = s e n x

f 4 ε = s e n ε

Passo 8

Sendo assim, substituindo os valores encontrados na fórmula geral para resto de Lagrange desta questão , vem :

R 3 x = f 4 ε 4 ! . x - π 6 4 = s e n ε 4 ! . x - π 6 4 = s e n ε 24 . x - π 6 4 ,   c o m   ε   e n t r e   0   e   x

Resposta

P 3 x = 1 2 + 3 2 x - π 6 - 1 4 x - π 6 2 - 3 12 x - π 6 3

R 3 x = s e n ε 24 . x - π 6 4

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Sejam n um natural ímpar e f x = sen ⁡ x . Mostre que, para todo x , sen ⁡ x - x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋅ ⋅ ⋅ + - 1 n - 1 2 x n n ! ≤ x n + 2 n + 2 !
Avalie sen ⁡ 1 com erro, em módulo, inferior a 10 - 5 . (Sugestão: utilize o Exercício 2 .)
Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de x 0 dado. f x = sen ⁡ x e x 0 = 0
Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de x 0 dado. f x = cos ⁡ x e x 0 = 0
Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de x 0 dado. f x = 1 + x α e x 0 = 0 , onde α ≠ 0 é um real dado.