Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.5 - Ex. 5
Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.
5.
Passo 1
Nesta questão o enunciado não nos fornece muitas informações, somente o que ele quer que encontramos mesmo. Para isso, basta aplicarmos a formula do polinômio de Taylor do enésimo grau apresentada ao longo da Seção. Devemos também utilizar a formula para o cálculo do resto de Lagrange.
O Polinômio de Taylor de enésimo grau da função no número a é dado por:
Já o resto de Lagrange é dado por :
Passo 2
Sendo assim, para a função dessa questão o polinômio de Taylor ficaria da seguinte forma:
Agora nos resta calcular a primeira, segunda e terceira derivada aplicada no número .
Como , temos que :
Passo 3
Calculando a primeira derivada e aplicando no número teremos:
Passo 4
Calculando a segunda derivada e aplicando no número teremos:
Passo 5
Calculando a terceira derivada e aplicando no número teremos:
Passo 6
Sendo assim, substituindo os valores encontrados na fórmula geral para o polinômio de Taylor desta questão , vem :
Passo 7
Como para o cálculo do resto, necessitamos de , calculemos a quarta derivada da função dada:
Passo 8
Sendo assim, substituindo os valores encontrados na fórmula geral para resto de Lagrange desta questão , vem :