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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.5 - Ex. 7

Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.

7 .   f x = s e n h x ; a = 0 ; n = 4 .

Passo 1

Nesta questão o enunciado não nos fornece muitas informações, somente o que ele quer que encontramos mesmo. Para isso, basta aplicarmos a formula do polinômio de Taylor do enésimo grau apresentada ao longo da Seção. Devemos também utilizar a formula para o cálculo do resto de Lagrange.

O Polinômio de Taylor de enésimo grau da função f no número a é dado por:

P n x = f a + f ´ a 1 ! . x - a + f ´ ´ a 2 ! . x - a 2 + … + f n a n !   . x - a n

Já o resto de Lagrange é dado por :

R n x = f n + 1 ε n + 1 ! . x - a n + 1   o n d e   ε   e s t á   e n t r e   a   e   x  

Passo 2

Sendo assim, para a função dessa questão o polinômio de Taylor ficaria da seguinte forma:

P 4 x = f 0 + f ´ 0 1 ! . x - 0 + f ´ ´ 0 2 ! . x - 0 2 + f 3 0 3 !   . x - 0 3 + f 4 0 4 !   . x - 0 4

Agora nos resta calcular a primeira, segunda , terceira e quarta derivada aplicada no número a = 0 .

Como f x = s e n h x , temos que :

f 0 = s e n h 0 = 0

Passo 3

Calculando a primeira derivada e aplicando no número a   teremos:

f ´ x = c o s h x

f ´ 0 = 1

Passo 4

Calculando a segunda derivada e aplicando no número a   teremos:

f ´ ´ x = s e n h x

f ´ ´ 0 = 0

Passo 5

Calculando a terceira derivada e aplicando no número a   teremos:

f 3 x = c o s h x

f 3 0 = 1

Passo 6

Calculando a quarta derivada e aplicando no número a   teremos:

f 4 x = s e n h x

f 4 0 = 0

Passo 7

Sendo assim, substituindo os valores encontrados na fórmula geral para o polinômio de Taylor desta questão , vem :

P 4 x = 0 + 1 1 ! . x - 0 + 0 2 ! . x - 0 2 + 1 3 !   . x - 0 3 + 0 4 !   . x - 0 4

P 4 x = x + 1 6 x 3

Passo 8

Como para o cálculo do resto, necessitamos de f n + 1 ( ε ) , calculemos a quinta derivada da função dada:

f 5 x = c o s h x

f 5 ε = c o s h ε

Passo 9

Sendo assim, substituindo os valores encontrados na fórmula geral para resto de Lagrange desta questão , vem :

R 4 x = f 5 ε 5 ! . x 5 = c o s h ε 5 ! . x 5   ,   c o m   ε   e n t r e   0   e   x

Resposta

P 4 x = x + 1 6 x 3

R 4 x = c o s h ε 5 ! . x 5

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