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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.8 - Ex. 36

Ache a solução completa de

x 2 d y d x - y ² = 2 x y

Usando a solução de bernoulli

1 1 - n   d u d x + P x u = Q x

Sendo

u   = y 1 - n

Passo 1

Primeiro vou reescrever a equação de bernoulli

d u d x + 1 - n P x u = 1 - n Q x

E depois temos que observar essa função

x 2 d y d x - y ² = 2 x y

À primeira vista , não parece estar no moldes de bernoulli, pois tem um y 2 no lado esquerdo. Mas podemos rearranjar essa equação pra ela ficar certinha

x 2 d y d x - 2 x y =   y 2

Pronto já podemos fazer a substituição

u = y 1 - n

Sendo n = 2

u = y - 1  

Reordenando todos os fatores obtemos :

d u d x + 2 x x 2 u = - 1 x 2

d u d x + 2 x u = - 1 x 2

NO exercício anterior calculamos uma solução geral :

u = 1 - n μ x   .   ∫ μ x 1 - n Q x   d x    

Sendo μ x o fator integrante que nos ajuda (E MUITO!!!) a resolver essa função.

Definimos μ x =   = e ∫ 1 - n P x d x

Passo 2

Entao agora temos

( 1 - n ) P x = 2 x  

1 - n Q x = - 1 x 2

Já temos o suficiente para encontrarmos μ x

Lembra que   μ x = e ( 1 - n ) ∫ P x d x

Então

μ x = e ∫ 2 x   d x

μ x = e 2 l n x = x 2

Agora já podemos escrever u:

u = 1 - n μ x   .   ∫ μ x 1 - n Q x   d x    

u = - 1 x 2   .   ∫ x 2 .   - 1 x 2   d x  

= - 1 x 2   .   - x + C

Lembre-se , estamos fazendo uma integral indefinida, logo precisamos acrescentar uma constante arbitraria C

u = 1 x - C x 2

Show! Achamos a solução.

Agora podemos retornar de u para y

Sendo u = y - 1

y - 1 =   1 x - C x 2

y = x 2 x - C

Resposta

y = x 2 x - C

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