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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.8 - Ex. 16

Ache a solução completa para a equação diferencial:

2 y d y d x = 1 e y 2 + x

Passo 1

A equação diferencial dada não é de primeira ordem em y . Para verificar se a equação diferencial é de primeira ordem em x , devemos coloca-la na forma

d x d y + P y x = Q ( y )

Para y ≠ 0 , temos então:

d y d x = 1 2 y e y 2 + x ⇒ d x d y = 2 y e y 2 + x = 2 y e y 2 + 2 x y

⇒ d x d y - 2 y x = 2 y e y 2

Agora a equação diferencial está como queríamos, com P y = - 2 y e Q y = 2 y e y 2 . O fator de integração pelo qual devemos multiplicar a equação é então e ∫ P y d y .

Passo 2

Calculamos o fator de integração:

∫ P y d y = ∫ - 2 y d y = - y 2 + k

O fator de integração é então:

e ∫ P y d x = e - y 2

Multiplicando a equação diferencial por e - y 2 :

e - y 2 d x d y - 2 y e - y 2 x = 2 y e y 2 e - y 2 ⇒ e - y 2 d x d y - 2 y e - y 2 x = 2

Passo 3

Como d e - y 2 d y = - 2 y e - y 2 , temos:

e - y 2   d x d y + d e - y 2 d y   x = 2 ⇒ d x e - y 2 d y = 2

Agora integrando:

∫ d x e - y 2 = ∫ 2 d y ⇒ x e - y 2 = 2 y + C ⇒ x = 2 y e y 2 + C e y 2

Resposta

x = 2 y e y 2 + C e y 2

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