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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.1 - Ex. 1h

  1. Ache a solução geral.

h) (d x)/(d t) + 2 x = (1)/(2)

Passo 1

Foi provado no livro do Guidorizzi a seguinte solução:

(d x)/(d t) + a x = f (t)

São as funções da forma:

x = k e^(- a t) + e^(- a t) int e^(a t) f (t) d t

Passo 2

Aplicando em nossa questão:

a = 2 , f (t) = (1)/(2)

x = k e^(- (2) t) + e^(- (2) t) int e^((2) t) (1)/(2) d t

Passo 3

Resolvendo,

x = k e^(- 2 t) + e^(- 2 t) int e^(2 t) (1)/(2) d t

= k e^(- 2 t) + (e^(- 2 t) e^(2 t))/(4)

= k e^(- 2 t) + (1)/(4) e^(2 t - 2 t)

= k e^(- 2 t) + (1)/(4)

Resposta

x = k e^(- 2 t) + (1)/(4)

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