Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.4 - Ex. 2
Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto dado? E em que direção e sentido decresce mais rapidamente?
a) , em .
b) , em .
c) , em .
Passo 1
A questão fornece em cada item uma função e pede para acharmos a direção de máximo crescimento da função em um determinado ponto.
A derivada direcional é máxima na direção do gradiente, de modo que ele dá a direção e sentido de maior crescimento. Deste modo, o sentido de menor crescimento é o oposto.
Assim, tudo o que temos que fazer é achar o vetor gradiente no ponto dado. No item (a), temos
Assim,
Portanto,
Desta forma, a direção do maior crescimento é . O maior decrescimento o ocorre no sentido contrário: .
Passo 2
Para o item (b), temos que . Assim,
Portanto, no ponto :
Assim, a direção de maior é crescimento é . Como só estamos interessados na direção do vetor eu multipliquei ele por .
Passo 3
Por fim, no item (c) temos . Assim,
No ponto :
Portanto, a direção de maior crescimento será a do vetor .
Resposta
a) maior crescimento:
b) maior crescimento:
c) maior crescimento: