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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.4 - Ex. 2

Em que direção e sentido a função dada cresce mais rapidamente no ponto dado? E em que direção e sentido decresce mais rapidamente?

a) f x , y = x 2 + x y + y 2 , em ( 1,1 ) .

b) f x , y = ln ⁡ x 2 + y 2 , em ( 1 , - 1 ) .

c) f x , y = 4 - x 2 - 2 y 2 , em 1 , 1 2 .

Passo 1

A questão fornece em cada item uma função f e pede para acharmos a direção de máximo crescimento da função em um determinado ponto.

A derivada direcional é máxima na direção do gradiente, de modo que ele dá a direção e sentido de maior crescimento. Deste modo, o sentido de menor crescimento é o oposto.

Assim, tudo o que temos que fazer é achar o vetor gradiente no ponto dado. No item (a), temos

f x , y = x 2 + x y + y 2

Assim,

∇ f x , y = ( 2 x + y , x + 2 y )

Portanto,

∇ f 1,1 = ( 3,3 )

Desta forma, a direção do maior crescimento é ( 3,3 ) . O maior decrescimento o ocorre no sentido contrário: - 3 , - 3 .

Passo 2

Para o item (b), temos que f x , y = ln ⁡ x 2 + y 2 . Assim,

∇ f x , y = 1 x 2 + y 2 ⋅ 1 2 x 2 + y 2 2 x ,   2 y = 1 x 2 + y 2 x , y

Portanto, no ponto ( 1 , - 1 ) :

∇ f 1 , - 1 = 1 2 , - 1 2

Assim, a direção de maior é crescimento é ( 1 , - 1 ) . Como só estamos interessados na direção do vetor eu multipliquei ele por 2 .

Passo 3

Por fim, no item (c) temos f x , y = 4 - x 2 - 2 y 2 . Assim,

∇ f x , y = 1 2 4 - x 2 - 2 y 2 - 2 x , - 4 y = 1 4 - x 2 - 2 y 2 ( - x , - 2 y )

No ponto 1 , 1 2 :

∇ f 1 , 1 2 = 2 5   ( - 1 , - 1 )

Portanto, a direção de maior crescimento será a do vetor ( - 1 , - 1 ) .

Resposta

a) maior crescimento: ( 3,3 )

b) maior crescimento: ( 1 , - 1 )

c) maior crescimento: ( - 1 , - 1 )

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