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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.1 - Ex. 22

Ache o valor exato da quantidade dada:

  1. cot^(- 1) (cot ((pi)/(3)))
  2. cot^(- 1) (cot (- (pi)/(6)))
  3. cot^(- 1) (cot (4 pi)/(3))
  4. cot^(- 1) (tan (- (7 pi)/(6)))

Passo 1

  1. cot^(- 1) (cot ((pi)/(3)))

    2. Devemos lembrar aqui que 0 < cot^(- 1) x < pi , ou seja, todos os resultados devem ser ângulos do primeiro ou segundo quadrante. E também que cot^(- 1) (cot x) = x quando x in (0 , pi) .

    Neste caso, (pi)/(3) in (0 , pi) . Então,

    cot^(- 1) (cot ((pi)/(3))) = (pi)/(3)

    Passo 2

  2. cot^(- 1) (cot (- (pi)/(6)))

    3. Aqui vamos converter radianos para graus usando a fórmula alpha = (180 ° * theta)/(pi) em que theta é o ângulo em radianos. Dessa forma fica mais fácil conhecer os valores. Seja então:

    alpha = (180 ° * (- pi)/(6))/(pi) = - 30 °

    Portanto, cot^(- 1) (cot (- (pi)/(6))) = cot^(- 1) ( cot - 3 0 ° ) = cot^(- 1) underset(cot 15 0 °)(ubrace (cot ( - 3 0 ° + 180 ° ))) = cot^(- 1) (cot ((5 pi)/(6))) = (5 pi)/(6) in (0 , pi) .

    Lembre-se que (5 pi)/(6) equivale a 150 ° .

    Passo 3

  3. cot^(- 1) (cot (4 pi)/(3))

    4. Aqui vamos usar a fórmula alpha = (180 ° * theta)/(pi) de novo.

    alpha = (180 ° * (4 pi)/(3))/(pi) = 24 0 °

    Portanto, cot^(- 1) (cot ((4 pi)/(3))) = cot^(- 1) ( cot 24 0 ° ) = cot^(- 1) underset(cot 6 0 °)(ubrace (cot ( 240 ° - 180 ° ))) = cot^(- 1) (cot (pi)/(3)) = (pi)/(3) in (0 , pi) .

    Passo 4

  4. cot^(- 1) (cot (- (7 pi)/(6)))

Aqui vamos usar a fórmula alpha = (180 ° * theta)/(pi) de novo.

alpha = (180 ° * (- 7 pi)/(6))/(pi) = - 21 0 °

Portanto, cot^(- 1) (cot (- (7 pi)/(6))) = cot^(- 1) ( cot - 21 0 ° ) = cot^(- 1) underset(cot 15 0 °)(ubrace (cot ( - 21 0 ° + 360 ° ))) = cot^(- 1) (cot (5 pi)/(6)) = (5 pi)/(6) in (0 , pi) .

Resposta

  1. (pi)/(3)
  2. (5 pi)/(6)
  3. (pi)/(3)
  4. (5 pi)/(6)
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Nos Exercícios de 1 a 6, determine o valor funcional exato.6. c) s e c - 1 ( 1 )
9. Faça o exercício 7 se x = s e n^(- 1) ( - (1)/(3) ) .7. b) t g ( x )
9. Faça o exercício 7 se x = s e n^(- 1) ( - (1)/(3) ) .7. a) c o s ( x )
10. Faça o exercício 8 se x = c o s^(- 1) ( - (2)/(3) ) .8. a) s e n ( x )
Dado que x = c o s - 1 ( 1 3 ) , ache o valor exato de cada uma das funções:8. e) c o s e c( x )