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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.1 - Ex. 19

Ache o valor exato da quantidade dada:

  1. tan^(- 1) (tan (pi)/(6))
  2. tan^(- 1) (tan (- (pi)/(3)))
  3. tan^(- 1) (tan (7 pi)/(6))
  4. tan^(- 1) (tan (- (4 pi)/(3)))

Passo 1

  1. tan^(- 1) (tan (pi)/(6))

    2. Devemos lembrar aqui que - (pi)/(2) < tan^(- 1) x < (pi)/(2) , ou seja, todos os resultados devem ser ângulos do primeiro ou quarto quadrante. E também que tan^(- 1) (tan x) = x quando x in (- (pi)/(2) , (pi)/(2)) .

    Neste caso, (pi)/(6) in (- (pi)/(2) , (pi)/(2)) . Então,

    tan^(- 1) (tan (pi)/(6)) = (pi)/(6)

    Passo 2

  2. tan^(- 1) (tan (- (pi)/(3)))

    3. Neste caso, - (pi)/(3) in (- (pi)/(2) , (pi)/(2)) . Então,

    tan^(- 1) (tan (- (pi)/(3))) = - (pi)/(3)

    Passo 3

  3. tan^(- 1) (tan (7 pi)/(6))

    4. Aqui vamos converter radianos para graus usando a fórmula alpha = (180 ° * theta)/(pi) em que theta é o ângulo em radianos. Dessa forma fica mais fácil conhecer os valores. Seja então:

    alpha = (180 ° * (7 pi)/(6))/(pi) = 210 °

    Portanto, tan^(- 1) (tan (7 pi)/(6)) = tan^(- 1) ( tan 210 ° ) = tan^(- 1) underset(tan 30 °)(ubrace (tan ( 210 ° - 180 ° ))) = tan^(- 1) (tan (pi)/(6)) = (pi)/(6) in (- (pi)/(2) , (pi)/(2)) .

    Passo 4

  4. tan^(- 1) (tan (- (4 pi)/(3)))

Aqui vamos usar a fórmula alpha = (180 ° * theta)/(pi) de novo.

alpha = (180 ° * (- 4 pi)/(3))/(pi) = - 24 0 °

Portanto, tan^(- 1) (tan (- (4 pi)/(3))) = tan^(- 1) ( tan - 240 ° ) = tan^(- 1) underset(tan - 60 °)(ubrace (tan ( - 240 ° + 180 ° ))) = tan^(- 1) (tan (- (pi)/(3))) = - (pi)/(3) in (- (pi)/(2) , (pi)/(2)) .

Resposta

  1. (pi)/(6)
  2. - (pi)/(3)
  3. (pi)/(6)
  4. - (pi)/(3)
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