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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.1 - Ex. 21

Ache o valor exato da quantidade dada:

  1. cot^(- 1) (cot ((pi)/(6)))
  2. cot^(- 1) (cot (- (pi)/(3)))
  3. cot^(- 1) (cot (7 pi)/(6))
  4. cot^(- 1) (tan (- (4 pi)/(3)))

Passo 1

  1. cot^(- 1) (cot ((pi)/(6)))

    2. Devemos lembrar aqui que 0 < cot^(- 1) x < pi , ou seja, todos os resultados devem ser ângulos do primeiro ou segundo quadrante. E também que cot^(- 1) (cot x) = x quando x in (0 , pi) .

    Neste caso, (pi)/(6) in (0 , pi) . Então,

    cot^(- 1) (cot ((pi)/(6))) = (pi)/(6)

    Passo 2

  2. cot^(- 1) (cot (- (pi)/(3)))

    3. Aqui vamos converter radianos para graus usando a fórmula alpha = (180 ° * theta)/(pi) em que theta é o ângulo em radianos. Dessa forma fica mais fácil conhecer os valores. Seja então:

    alpha = (180 ° * (- pi)/(3))/(pi) = - 60 °

    Portanto, cot^(- 1) (cot (- (pi)/(3))) = cot^(- 1) ( cot - 60 ° ) = cot^(- 1) underset(cot 12 0 °)(ubrace (cot ( - 60 ° + 180 ° ))) = cot^(- 1) (cot (2 pi)/(3)) = (2 pi)/(3) in (0 , pi) .

    Passo 3

  3. cot^(- 1) (cot (7 pi)/(6))

    4. Aqui vamos usar a fórmula alpha = (180 ° * theta)/(pi) de novo.

    alpha = (180 ° * (7 pi)/(6))/(pi) = 21 0 °

    Portanto, cot^(- 1) (cot ((7 pi)/(6))) = cot^(- 1) ( cot 210 ° ) = cot^(- 1) underset(cot 30 °)(ubrace (cot ( 210 ° - 180 ° ))) = cot^(- 1) (cot (pi)/(6)) = (pi)/(6) in (0 , pi) .

    Passo 4

  4. cot^(- 1) (cot (- (4 pi)/(3)))

Aqui vamos usar a fórmula alpha = (180 ° * theta)/(pi) de novo.

alpha = (180 ° * (- 4 pi)/(3))/(pi) = - 24 0 °

Portanto, cot^(- 1) (cot (- (4 pi)/(3))) = cot^(- 1) ( cot - 24 0 ° ) = cot^(- 1) underset(cot 120 °)(ubrace (cot ( - 240 ° + 36 0 ° ))) = cot^(- 1) (cot (2 pi)/(3)) = (2 pi)/(3) in (0 , pi) .

Resposta

  1. (pi)/(6)
  2. (2 pi)/(3)
  3. (pi)/(6)
  4. (2 pi)/(3)
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