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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 21

Calcule a integral indefinida:

int (ln^3 w d w)/(w sqrt( ln^2 w - 4))

Passo 1

Pessoal, essa integral será resolvida pelo método da substituição trigonométrica, porém, antes devemos fazer uma substituição simples. Seja u = ln w -> d u = (1)/(w) d w , então:

int (ln^3 w d w)/(w sqrt( ln^2 w - 4)) = int (u^3 d u)/(sqrt( u^2 - 4))

Agora podemos utilizar a substituição trigonométrica.

Passo 2

Devemos saber qual substituição trigonométrica usar, como nós temos (u)^2 - 2^2 no denominador, isso indica a substituição com a secante, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser u = 2 sec theta . Façamos então a substituição:

[[u,=,2,sec theta],[d,u,=,2 sec theta tan theta,d,theta]]

Dessa forma, u^2 = 2^2 sec^2 theta -> u^2 - 4 = 2^2 sec^2 theta - 4 = 4 overset(tan^2 theta)(obrace ( 1 - sec^2 theta )) = 2^2 tan^2 theta .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável e resolver.

int (u^3 d u)/(sqrt( u^2 - 4)) = int ((2 sec theta)^3 2 sec theta tan theta d theta)/(sqrt( 2^2 tan^2 theta)) = 2^3 int (sec^4 theta tan theta d theta)/(tan theta)

= 8 int sec^4 theta d theta = 8 int sec^2 theta * sec^2 theta d theta = 8 int ( overset(sec^2 theta)(obrace tan^2 theta + 1) ) sec^2 theta d theta

Aqui podemos efetuar a substituição x = tan theta -> d x = sec^2 theta d theta e ficamos com:

8 int ( tan^2 theta + 1 ) sec^2 theta d theta = 8 int ( x^2 + 1 ) d x = 8 ((x^3)/(3) + x) + C

= 8 ((( tan theta )^3)/(3) + ( tan theta )) + C

Passo 4

Como a integral indefinida foi dada na variável w , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo u = 2 sec theta , para achar tan theta nós olhamos o triângulo da substituição com s e c construído no início e utilizamos essas relações trigonométricas. Temos então:

tan theta = (sqrt(u^2 - a^2))/(a) -> tan theta = (sqrt(u^2 - 4))/(2)

No triângulo está x , mas nós efetuamos a substituição usando u , então basta trocar. Dessa forma,

int (ln^3 w d w)/(w sqrt( ln^2 w - 4)) = 8 ((( tan theta )^3)/(3) + ( tan theta )) + C = 8 ((((sqrt(u^2 - 4))/(2))^3)/(3) + (sqrt(u^2 - 4))/(2)) + C

= 8 (((sqrt(u^2 - 4))^3)/(24) + (sqrt(u^2 - 4))/(2)) + C = 4 (((sqrt(u^2 - 4))^3)/(12) + sqrt(u^2 - 4)) + C

Também fizemos a substituição u = ln w , logo, o resultado será:

int (ln^3 w d w)/(w sqrt( ln^2 w - 4)) = 4 (((sqrt(( ln w )^2 - 4))^3)/(12) + sqrt(ln w^2 - 4)) + C

Resposta

int (ln^3 w d w)/(w sqrt( ln^2 w - 4)) = 4 (((sqrt(( ln w )^2 - 4))^3)/(12) + sqrt(( ln w )^2 - 4)) + C

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