Enunciado

Ache o valor exato da quantidade dada.

(a)   arccsc ⁡ csc ⁡ π 3 ; (b) arccsc ⁡ csc ⁡ - π 3 ; (c) arccsc ⁡ csc ⁡ 2 π 3 ; (d) arccsc ⁡ csc ⁡ 5 π 3

Passo 1

A questão pede para calcularmos o valor das expressões. Para isso, temos que lembrar que

arccsc ⁡ csc ⁡ x = x ,

se x estiver na imagem da função arco cossecante. Vale lembrar que a imagem da função arco cossecante é - π < x ≤ - π / 2 ou 0 < x ≤ π / 2 .

No item (a), temos que π / 6 está na imagem da função, de modo que

arccsc ⁡ csc ⁡ π 3 = π 3

Passo 2

Note que nos demais pontos x não está na imagem da função. Assim, teremos que achar arcos que tenham a mesma cossecante e que estejam dentro do intervalo citado.

Para o item (b), note que

csc ⁡ - π 3 = csc ⁡ - 2 π 3

Como - 5 π / 6 está na imagem da cossecante:

arccsc ⁡ csc ⁡ - π 3 = arccsc ⁡ csc ⁡ - 2 π 3 = - 2 π 3

Passo 3

Analogamente,

csc ⁡ 2 π 3 = csc ⁡ π 3

Assim, no item (c) nós teremos:

arccsc ⁡ csc ⁡ 2 π 3 = arccsc ⁡ csc ⁡ π 3 = π 3

Passo 4

Por fim, para o item (d), temos que

csc ⁡ 5 π 3 = csc ⁡ - π 3 = csc ⁡ - 2 π 3

Assim,  

arccsc ⁡ csc ⁡ 5 π 3 = arccsc ⁡ csc ⁡ - 2 π 3 = - 2 π 3

Resposta

a) π 3 b) - 2 π 3 c) π 3 d) - 2 π 3

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